Due domande sulla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

[Il_Gariboldi]

Buongiorno, volevo porre due domande sulla disuguaglianza di cauchy schwarz.

Il punto su cui nutro dubbi è il seguente: nel testo che ho dice che l'uguaglianza della $|x*y|<=||x||*||y||$ si ha $<=>$ ($x=0$ or $y=0$ or $x=ay$ (cioè proporzionali con a reale)).

Ora il testo procede così:
(domanda1) prende $x=0$ e dice $0<=0$, discorso analogo per $y=0$ e quindi per questi due l'uguaglianza è verificata, perciò questo dimostra che se $x=0$ o $y=0$ => "= in c-s".
Poi assume $(x+ay)=0$ e questo vale se e solo se $x=ay$ questo ci dice che se hanno quella proporzionalità allora vale l'uguaglianza in c-s e viceversa se vale c-s ho proporzionalità. Inoltre questo include il caso (x=0 e y=0, banalmente proporzionali sempre).
Manca però da dimostrare che "= in c-s" => $x=0$ o $y=0$ a mio parere, come si fa questo passo?
Ma questo modo di svolgere a pezzi la dimostrazione degli or non mi convince a fondo e spiego nel seguito perché


D'altra parte formalmente quanto visto nel primo punto non mi pare affatto dimostrare (in modo logicamente esatto) la catena di or, cerco di spiegare il perché dico questo:
(domanda2a) la seconda cosa che mi lascia molto perplesso è la seguente. Quello che vorrei dimostrare io se assumo:
$|x*y|=||x||*||y|| =>$ $(x=0$ or $y=0$ or $x=ay)$(*)
è che dato $R$ allora valgono $P$ o $Q$ (o $S$), per semplicità lasciamo "S" da parte e consideriamo solo R,P,Q tanto è uguale il discorso: se io assumo "R" e dimostro "P" in realtà ho già mostrato $R => (P or Q)$ nel complesso; lo si vede semplicemente dalla tavola di verità: $(R=>P)=>(R=>(P or Q))$ sempre vera¹, oppure vedendolo in altro modo, ma sempre perfettamente congruente al precedente, ci basta notare che $R => (P or Q) ≡ (R=>P) or (R=>Q)$, quindi se mostro R=>P ho finito! Quello che quindi non mi convince in questo tipo di dimostrazione è che dimostrando P mi importa ben poco del fatto che Q sia vera o meno (per assurdo può anche essere sempre vera o sempre falsa la Q che vale comunque quanto dimostrato). Tuttavia, ad esempio nel nostro caso, vorremmo dimostrare: "=" => $x=0$ o $y=0$(**), se io mostro che data l'uguaglianza di ipotesi allora ho $x=0$ dal mio ragionamento concluderemmo che vale il teorema (**) e che sia dimostrata anche se $y!=0$ sempre. Però questo in realtà non dimostra affatto quello che intuitivamente vogliamo: il senso del discorso è che vorrei anche che quanto detto valga per $y=0$, non posso tralasciare y perché vorrei che anche nel caso in cui quella vale 0 valgano le considerazioni fatte, ma io ho dimostrato solo per x=0. Quindi come risolvo questa cosa in (*), scritta così come sul testo sembra che basta provare uno dei tre "or" coerentemente con la tavola di verità... ma non è così, palesemente.

(domanda2b)
Volevo infine chiedere se fosse corretto quanto già espresso nella precedente domanda ossia se è corretto dire che i due seguenti modo di vedere la situazione sono gli stessi:
Voglio dimostrare: $R => (P or Q)$
- questo vuol dire che $R => (P or Q)$ deve essere una tautologia, ma posso riscriverla come $R => (P or Q) ≡ (R=>P) or (R=>Q)$², questo vuol dire che basta mostrare $(R=>P) or (R=>Q)$ sia una tautologia, e dato l'or questo succederà se $R=>P$, quindi basta mostrare solo $R=>P$.
- in altro modo posso dire $(R=>P)=>(R => (P or Q))$, quindi basta dimostrare il solo $R=>P$ per avere dimostrato anche: $R => (P or Q)$

Spero possiate farmi capire come nella precedente , perché solo grazie a questo forum e letture di recenti discussioni ho avuto dubbi su questi argomenti e ho imparato da voi più che sui libri.

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Note

1. così come è sempre vera l'opposta: $((P or Q)=>R)=>(P=>R)$ ↑
2. Ovviamente da intendersi coem forma compatta di quella con i quantificatori: $AAx,(R(x) => (P(x) or Q(x))) ≡ AAx,((R(x)=>P(x)) or (R(x)=>Q(x)))$ ↑

[Il_Gariboldi]

La lascio comunque anche qui perché in realtà a questo forum ormai sono affezionato avendomi dato molto e ormai lo sento un po' casa passando metà delle mie giornate a leggere vecchie discussioni vostre (passate), e caso mai qualcuno incappasse in questo thread sarei molto ma molto contento di leggere la risposta alle 3 domande, però su consiglio di PM ricevuto qui (da utente C che ringrazio) proverò anche a porla su stackexchange . Siccome da quanto mi diceva è forse più consono. Non conosco il sito ma ci provo.
Spero non sia vietato fare doppioni!

[EDIT]: ho eliminato da stackexchange, le risposte degli utenti sono state tutte inutili, non mirate e per di più nemmeno tutte corrette; come se non bastasse ho ricevuto mille voti negativi ¹ . Qui ho trovato soluzione ancora una volta, e grazie a otta96. Qui, nel nostro piccolo, il nostro forum si riconferma ancora una volta superiore in gentilezza e preparazione

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Note

1. (non ho capito manco perché dato che mi pare di esser stato garbato) ↑

[otta96]

Allora, sei stato troppo frettoloso quando hai detto "e viceversa se vale c-s ho proporzionalità", guarda meglio la dimostrazione che hai del punto di vista logico. Le altre domande provengono da questa incomprensione. Di sicuro noterai che la dimostrazione ad un certo punto asume che $y!=0$, o qualcosa del genere, il che rende la struttura della dimostrazione da $P=>(QorR)$ a $(PandnotQ)=>R$, che sono equivalenti.
Per rispodere alla domanda 2b), è sbagliato il primo passaggio che fai, $P=>QorP=>R$ non equivale a $P=>(QorR)$, la implica, ma non ne è implicata.

[Il_Gariboldi]

Grazie per la tua risposta otta96! Anche perché finora non avevo cavato un ragno dal buco e mi pare il tuo suggerimento mi abbia dato una grande mano:

1)

ad un certo punto asume che $y!=0$, o qualcosa del genere

Occavolo, mi fai notare una cosa che non avevo proprio notato. O meglio, la dimostrazione partiva assumendo $x=0$ $y=0$ e mostrava come dicevo $0<=0$ e poi prosegue dicendo:
siano x≠0 e y≠0 e procede assumendo $0<=||x+ay||^2$ da cui poi ricava c-s, e da cui poi fa le considerazioni su $(x+ay)=0$ da cui deduceva la proprozionalità che indicavo.
Mi chiedevo in effetti perché assumesse $x!=0$ e $y!=0$, mi sembrava del tutto superfluo e non trovavo soluzione, invece in sostanza è dovuto a questo? (vediamo se ti ho ben capito)
$P=>(Q or R or S) <=> (P and ¬Q and¬R)=>S$ quindi dimostrare la prima è come dimostrare la seconda?
nel nostro caso: per dimostrare $|x⋅y|=||x||⋅||y||⇒ (x=0 or y=0 or x=ay)$, dimostro: (|x⋅y|=||x||⋅||y|| and $x!=0$ and $y!=0$) => x=ay.
Mi sembra funzionare e spiegare l'arcano, ma volevo chiederti conferma per sicurezza essendo io babbeo
Direi che così, se corretto, il primo dubbio perde la sua consistenza.




2) Resta comunque il fatto che andrebbe dimostrato anche $ (x=0 or y=0 or x=ay)=>|x⋅y|=||x||⋅||y||$ però non ho ben capito come renderla in una forma logicamente equivalente che mi permetta di dimostralo agevolemente.
Il libro dice solo sbrigativamente (come dicevo sopra) se x=0 e identicamente y=0 ho l'uguaglianza. Ma questo non prova il teorema con tutti gli or da me elencati. Come potrei fare?
[EDIT]:
Forse ci sono, qui valendo: $((P or Q or R)=>S)<=>((P=>S) and (Q=>S) and (R=>S))$
mi basta dimostrare che: x=0 allora vale "= in c-s", y=0 allora vale "= in c-s", x=ay allora vale "= in c-s" (che è più facile potendo spezzettare la dimostrazione), tuttavia non capisco perché il testo dimostri solo le prime due: cioè x=0 e y=0 senza occuparsi del caso x=ay.
Cosa ne pensi di quello che ho detto? Par giusto?



3)

Per rispodere alla domanda 2b), è sbagliato il primo passaggio che fai, $P=>QorP=>R$ non equivale a $P=>(QorR)$, la implica, ma non ne è implicata.

Questo non ho ben capito perché, infatti:
P⇒(Q∨R) <-> ¬P∨(Q∨R) <-> (¬P)∨Q∨(¬P)∨R <-> (P⇒Q)∨(P⇒R)

In realtà facendo la tabella di verita: $((P=>Q)∨(P=>R)) =>(P=>(Q∨R))$ a me risulta una tautologia...
Prima di continuare sulle 2a) e 2b) volevo chiederti questo chiarimento, sul perché dici che non implica.

[otta96]

volevo chiederti conferma per sicurezza

Si, si, va bene.

2) Resta comunque il fatto che andrebbe dimostrato anche $ (x=0 or y=0 or x=ay)=>|x⋅y|=||x||⋅||y||$ però non ho ben capito come renderla in una forma logicamente equivalente che mi permetta di dimostralo agevolemente.
Il libro dice solo sbrigativamente (come dicevo sopra) se x=0 e identicamente y=0 ho l'uguaglianza. Ma questo non prova il teorema con tutti gli or da me elencati. Come potrei fare?

Non scervellarti più del necessario, hai ipotesi concrete su $x$ e/o $y$? Sfruttale! In questo caso sostituisci e vedrai che viene l'uguaglianza.

Questo non ho ben capito perché, infatti:
P⇒(Q∨R) <-> ¬P∨(Q∨R) <-> (¬P)∨Q∨(¬P)∨R <-> (P⇒Q)∨(P⇒R)

In realtà facendo la tabella di verita: $((P=>Q)∨(P=>R)) =>(P=>(Q∨R))$ a me risulta una tautologia...
Prima di continuare sulle 2a) e 2b) volevo chiederti questo chiarimento, sul perché dici che non implica.

In effetti mi ero sbagliato io, è giusto.

[Il_Gariboldi]

Perfetto per il primo, grazie mille mi hai risolto un dubbio che mi stava seriamente struggendo . Lo tralascio ora così da alleggerire man mano lo scritto che è già pedante così.

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2)

Non scervellarti più del necessario, hai ipotesi concrete su $x$ e/o $y$? Sfruttale! In questo caso sostituisci e vedrai che viene l'uguaglianza.

Sì, certo, le mie ipotesi sono x=0, y=0, x=ay; ovviamente una semplice sostituzione ci porta a mostrare l'uguaglianza, però il mio dubbio era sul perché potevo prendere prima x=0 sostituirla e trovare 0=0, poi prendere y=0 sostituire e trovare 0=0 e poi sostituendo x=ay trovare anche una uguaglianza in c-s. Cioè non capivo cosa mi consentisse la sostituzione "una alla volta" delle ipotesi per dimostrare il teorema.
Capisco dalla tua risposta essermi spiegato male, in definitiva quello che volevo dire era che poter usare la disgiunzione sulle ipotesi era dovuto a questa equivalenza logica: $((PorQorR)⇒S)⇔((P⇒S)and(Q⇒S)and(R⇒S))$.
Era questo che volevo chiederti, è giusto no? :D.

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3)Per quanto riguarda l'ultima questione volevo riassumere le domande 2a) e 2b) in una unica cercando di spiegare quale dubbio mi affligge.
Mi sembra di poter vedere la questione in due modi che ritengo coerenti e corretti:

Voglio dimostrare: $R⇒(PorQ)$:

A) questo vuol dire che $R⇒(PorQ)$ deve essere una tautologia se il teorema è vero, ma posso riscriverla come $R⇒(PorQ)≡(R⇒P)or(R⇒Q)$ (Ovviamente da intendersi come forma compatta di quella con i quantificatori: $∀x,(R(x)⇒(P(x)orQ(x)))≡∀x,((R(x)⇒P(x))or(R(x)⇒Q(x)))$), questo vuol dire che basta mostrare $(R⇒P)or(R⇒Q)$ sia una tautologia, e dato l'or questo succederà se $R⇒P$, quindi basta mostrare solo $R⇒P$. Mi sembra tutto giusto come ragionamento.

B) in altro modo posso dire $(R⇒P)⇒(R⇒(PorQ))$ (infatti la tabella è una tautologia)¹, quindi basta dimostrare il solo $R⇒P$ per avere (implica) dimostrato anche: $R⇒(PorQ)$. Anche questo secondo punto mi sembra tutto giusto come ragionamento.

Ora, dai due punti precedenti, che risultano perfettamente coerenti (qui c'è la prima domanda che volevo rivolgerti, ossia se confermi la veridicità delle mie conclusioni:lol:) abbiamo concluso che per mostrare $R⇒(PorQ)$ ci basta mostrare ad esempio $R⇒P$.

E qui viene il mio secondo dubbio, ciò che non mi convince in questo tipo di dimostrazione (che è diversa da quella che suggerivi assumendo x e y diversi da zero, ma mi sembra comunque una dimostrazione valida anche questa) per il discorso fatto io posso dimostrare R⇒P e mi importa ben poco del fatto che Q sia vera o meno (per assurdo può anche essere sempre vera o sempre falsa la Q che vale comunque quanto dimostrato). Tuttavia, ad esempio nel nostro caso, vorremmo dimostrare: "= in c-s" => x=0 o y=0 o x=ay(**), se io mostro che data l'uguaglianza di ipotesi allora ho x=0 dal mio ragionamento concluderemmo che vale il teorema (**) e che sia dimostrata anche se y≠0 sempre.
Mi sembra quindi che non dimostro affatto quello che intuitivamente vorrei: il senso del discorso è che vorrei che quanto detto valga anche per y=0, non posso tralasciare y perché vorrei che anche nel caso in cui quella valesse 0 (y=0) valgano le considerazioni fatte, ma io ho dimostrato solo per x=0.

Una dimostrazione di questo tipo infatti mi porterebbe a dimostrare anche questo teorema come vero:
"= in c-s" => x=0 o y=0 o x=ay o x=100; si nota che x=100 è sempre falsa: quella uguaglianza non la ottengo mai, tuttavia se dimostro:
"= in c-s" => x=0 questo implica che è vero anche "= in c-s" => x=0 o y=0 o x=ay o x=100. Non è un po' una fregatura? Mi ritrovo x può essere 0 o 100 e il teormea va bene. Non capisco come sistemare questa cosa.

Scusa se sono stato un po' prolisso, però volevo cercare di spiegarmi nel modo più completo possibile. Nelle prossime risposte cercherò di esser più breve, promesso
Ti auguro un buon sabato e grazie mille.

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Note

1. simmetricamente $(R⇒Q)⇒(R⇒(PorQ))$ ↑

[otta96]

Nella seconda, giusto.
Nella terza, ti ripeto ragiona più concretamente, con la dimostrazione sottomano, che sennò vai a fare dei voli pindarici che non ti portano da nessuna parte, ed è anche difficile seguirti, nel caso specifico comunque non puoi dimostrare che $x=0$ semplicemente perchè non è vero.
Per l'ultimo esempio che hai fatto con $x=100$, non c'è nessuna fregatira da sistemare, è solo una cosa inutile.

[Martino]

Una dimostrazione di questo tipo infatti mi porterebbe a dimostrare anche questo teorema come vero:
"= in c-s" => x=0 o y=0 o x=ay o x=100; si nota che x=100 è sempre falsa: quella uguaglianza non la ottengo mai, tuttavia se dimostro:
"= in c-s" => x=0 questo implica che è vero anche "= in c-s" => x=0 o y=0 o x=ay o x=100. Non è un po' una fregatura? Mi ritrovo x può essere 0 o 100 e il teormea va bene. Non capisco come sistemare questa cosa.

Perché una fregatura? Tu hai un'implicazione del tipo $A(x) => B(x)$ e poi dici "però così ho anche $A(x) => (B(x) or x=100)$", sì giusto e quindi? Non capisco quale sia il problema.

[Il_Gariboldi]

Perché una fregatura? Tu hai un'implicazione del tipo $A(x) => B(x)$ e poi dici "però così ho anche $A(x) => (B(x) or x=100)$", sì giusto e quindi? Non capisco quale sia il problema.

Premetto che parlo a livello intuitivo nel senso che mi accorgo che qualcosa mi sfugge, cerco di chiarire meglio perché mentre editavo questo messaggio mi sono accorto di aver detto inesattezze (come quella che segnalava otta x=0 non posso dimostrarlo partendo da =, mi ero intortato da solo) e sono riuscito a riordinare meglio le idee.

Come primo passo volevo capire se è corretto (cioè volevo capire se lo fosse) questo discorso:

Voglio dimostrare: $R⇒(PorQ)$:

A) questo vuol dire che $R⇒(PorQ)$ deve essere una tautologia se il teorema è vero, ma posso riscriverla come $R⇒(PorQ)≡(R⇒P)or(R⇒Q)$ (Ovviamente da intendersi come forma compatta di quella con i quantificatori: $∀x,(R(x)⇒(P(x)orQ(x)))≡∀x,((R(x)⇒P(x))or(R(x)⇒Q(x)))$), questo vuol dire che basta mostrare $(R⇒P)or(R⇒Q)$ sia una tautologia, e dato l'or questo succederà se $R⇒P$, quindi basta mostrare solo $R⇒P$. Mi sembra tutto giusto come ragionamento.

B) in altro modo posso dire $(R⇒P)⇒(R⇒(PorQ))$ (infatti la tabella è una tautologia)¹, quindi basta dimostrare il solo $R⇒P$ per avere (implica) dimostrato anche: $R⇒(PorQ)$. Anche questo secondo punto mi sembra tutto giusto come ragionamento.

Ora, dai due punti precedenti, che risultano perfettamente coerenti (qui c'è la prima domanda che volevo rivolgerti, ossia se confermi la veridicità delle mie conclusioni:lol:) abbiamo concluso che per mostrare $R⇒(PorQ)$ ci basta mostrare ad esempio $R⇒P$.

Fin qui mi pare ok no? Cioè A e B vanno bene entrambi come giustificazioni al dire che dimostrare R⇒P ci dimostra R⇒(PorQ)?

Proseguendo sul dubbio vero e proprio:
Quando sono di fronte a un qualcosa del tipo $R=>(P or Q)$ possono accadere due casi:
1] intuitivamente l'ho sempre interpretato come dire: dato R vero posso avere P vero e se non ho P posso (alternativamente) avere Q vero, o anche assieme ovviamente essendo un or non esclusivo. Questa eventualità rende il teorema ovviamente verificato.
Quindi erroneamente mi pareva di poter concludere che in fin dei conti sia P che Q hanno "pari diritto" di esser veri, uno dei due lo sarà sicuramente ma pensavo che in questo tipo di teoremi tutti e due potessero e dovessero esserlo.

2]invece, per il discorso fatto sopra, mi sono accorto che questa conclusione (sul fatto che sia P che Q diventano veri "alternativamente" è falsa), infatti se ammettiamo di avere un teorema $R=>(P or Q)$ e di poter dimostrare che $R=>P$ è vero, beh ci accorgiamo che Q può anche essere falsa sempre e il teorema funziona benissimo.

Queste considerazioni si ripercuotono sul caso iterato a 3 o 4 "or"

Riprendendo l'esempio di c-s,
posso ideare ad esempio questo teorema
"= in c-s" => x=0 o y=0 o x=ay o x=100 (*)
invece del classico:
"= in c-s" => x=0 o y=0 o x=ay(**)

Quello che mi lasciava un po' stranito era che quando guardo il teorema (**) quello che voglio dire in modo intuitivo è che se so che vale l'uguaglianza di ipotesi, allora potrò avere che vale x=0, così come se vale "=" posso avere che y=0, o che se vale "=" allora posso avere proporzionalità tra x e y (e in modo probabilmente errato mi dicevo: posso dedurre SICURAMENTE una delle tre, nel senso che una delle tre può sempre verificarsi), questo era quanto esprimevo in 1].
Se invece considero (*) non potrò mai avere che "=" mi dà x=100, perché non succede MAI in realtà, e ci trovo una differenza col caso precedente perché una delle 4 potrebbe non verificarsi mai (appunto x=100).
Di fondo mi attendevo di avere tutti e tre gli or che "potevano" verificarsi, mentre mi accorgo che questa conclusione non posso compierla appunto per i casi visti in: 1-2].
In definitiva: dato A=>(B or C or D or ...) non posso concludere alcunché su quali tra B, C, D,... possano verificarsi, mentre io credevo (inizialmente) che tutti avessere possibilità di sussistere in modo alternativo o combinato tra loro. Ma non è così mi pare, se non ho detto fesserie. Voi che dite?

Vi prego davvero di scusarmi per la mia stupidità, ma voglio imaprare a ragionare bene

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Note

1. simmetricamente $(R⇒Q)⇒(R⇒(PorQ))$ ↑

[Martino]

Tutto giusto (anche la parte in quote).

Pensala così: se hai un'equivalenza $A(x) <=> B(x)$ (che sai essere vera), considerando una proposizione $C(x)$ hai che
$A(x) => (B(x) or C(x))$
è vero (indipendentemente dal valore di verità di $C(x)$) mentre invece non c'è ragione per cui l'equivalenza
$A(x) <=> (B(x) or C(x))$ (*)
debba essere vera. Questo significa che $C(x)$ è irrilevante quando dimostri $=>$ (in (*)) ma diventa fondamentale quando cerchi di dimostrare \( \displaystyle \Leftarrow \) (in (*)). Infatti se $C(x)$ non implica $A(x)$ allora l'equivalenza (*) è falsa.