Due domande sulla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

[Il_Gariboldi]

Mi torna , grazie per l'ulteriore modo di vedere la cosa. Mi piace molto poter vedere il problema in diversi modi.

Mi piacerebbe chiudere con un'ultima domanda un po' più pragmatica, ci stavo ragionando prima ma ho visto che nel frattempo hai risposto.

Metto qui per comodità di non dover girare pagina per il lettore.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

1] intuitivamente l'ho sempre interpretato come dire: dato R vero posso avere P vero e se non ho P posso (alternativamente) avere Q vero, o anche assieme ovviamente essendo un or non esclusivo. Questa eventualità rende il teorema ovviamente verificato.
Quindi erroneamente mi pareva di poter concludere che in fin dei conti sia P che Q hanno "pari diritto" di esser veri, uno dei due lo sarà sicuramente ma pensavo che in questo tipo di teoremi tutti e due potessero e dovessero esserlo.

2]invece, per il discorso fatto sopra, mi sono accorto che questa conclusione (sul fatto che sia P che Q diventano veri "alternativamente" è falsa), infatti se ammettiamo di avere un teorema R⇒(PorQ) e di poter dimostrare che R⇒P è vero, beh ci accorgiamo che Q può anche essere falsa sempre e il teorema funziona benissimo.
In forza ai punti 1] e 2] del mio ultimo post sostanzialmente per dimostrare un generico:

Si abbia un teorema della tipologia:
$P=> (Q or R or S or T)$ si hanno due casi e due possibili modi comodi per dimostrarlo:

1] se intuisco a priori che (come nel punto 1) in modo alternato possono sussistere Q, R , S , T veri agisco come consiglio di otta dimostrando: $(P and ¬Q and ¬R and ¬S) => T$

2] se invece intuisco che voglio dimostrare un teorema $P=> (Q or R or S or T)$ dove mi accorgo che intuitivamente Q è sempre vera (e ad esempio T sempre falsa anche), e riesco poi a mostrare semplicemente che $P=>Q$ sempre, beh ho già finito così e il teorema è dimostrato.

Mi sembra tutto sommato corretto come "schemino", so che non ha molto senso farne in generale però mi piacerebbe cercare di racchiudere in una "casistica" pur conscio non sia una verità assoluta.
Grazie ancora a voi!

[Martino]

Sì va bene.

[Il_Gariboldi]

Molto gentile , Non so davvero come ringraziarvi per i vostri immensi aiuti!

[cantbury]

Questa discussione mi è molto utile per alcune dimostrazioni che trovo in algebra1 e volevo chiedervi una cosa che mi è venuta in mente leggendovi. O meglio leggendo questo stralcio:

1] se intuisco a priori che (come nel punto 1) in modo alternato possono sussistere Q, R , S , T veri agisco come consiglio di otta dimostrando: (Pand¬Qand¬Rand¬S)⇒T

In definitiva: dato A=>(B or C or D or ...) non posso concludere alcunché su quali tra B, C, D,... possano verificarsi, mentre io credevo (inizialmente) che tutti avessere possibilità di sussistere in modo alternativo o combinato tra loro.

Mi piacerebbe capire se dimostrando come nel punto 1 il teorema: $(Pand¬Qand¬Rand¬S)⇒T$ ci fosse un modo "furbo" per capire se siamo nel caso 1) o 2) analizzati, ossia se posso capire se tra i Q, R, S e T ci siano alcuni tra questi che non si verificano mai e altri sì, oppure se avvengono (cito) in modo alternato tra loro.
Potrebbe infatti essere utile capire se una tra quelle sia sempre falsa o meno, però dal teorema non possoamo dedurlo come giustamente da voi altri analizzato.

(Nota)
per casi 1 e 2 intendo
Proseguendo sul dubbio vero e proprio:

Quando sono di fronte a un qualcosa del tipo R⇒(PorQ) possono accadere due casi:
1] intuitivamente l'ho sempre interpretato come dire: dato R vero posso avere P vero e se non ho P posso (alternativamente) avere Q vero, o anche assieme ovviamente essendo un or non esclusivo. Questa eventualità rende il teorema ovviamente verificato.
Quindi erroneamente mi pareva di poter concludere che in fin dei conti sia P che Q hanno "pari diritto" di esser veri, uno dei due lo sarà sicuramente ma pensavo che in questo tipo di teoremi tutti e due potessero e dovessero esserlo.

2]invece, per il discorso fatto sopra, mi sono accorto che questa conclusione (sul fatto che sia P che Q diventano veri "alternativamente" è falsa), infatti se ammettiamo di avere un teorema R⇒(PorQ) e di poter dimostrare che R⇒P è vero, beh ci accorgiamo che Q può anche essere falsa sempre e il teorema funziona benissimo.

Mi scuso ma ho editato un piccolo errore.

[Martino]

Mi piacerebbe capire se dimostrando come nel punto 1 il teorema: $(Pand¬Qand¬Rand¬S)⇒T$ ci fosse un modo "furbo" per capire se siamo nel caso 1) o 2) analizzati, ossia se posso capire se tra i Q, R, S e T ci siano alcuni tra questi che non si verificano mai e altri sì, oppure se avvengono (cito) in modo alternato tra loro.
Potrebbe infatti essere utile capire se una tra quelle sia sempre falsa o meno, però dal teorema non possoamo dedurlo come giustamente da voi altri analizzato.

E' una domanda troppo generica, è come se io ti chiedessi "dato un teorema da dimostrare, c'è un modo furbo per dimostrarlo?". Come vedi, si tratta di una domanda troppo generica. Dipende da caso a caso. Se vuoi una risposta secca, la risposta è no, non c'è un modo furbo che funziona in tutti i casi.

[cantbury]

Sì in realtà volevo capire se ci fosse un modo furbo generico per dire ok (quello che mi hai quotato) si può capire in modo facile senza dover provare volta per volta che ogni singolo Q, R, S e T si possa verificare (o meno es. uno sempre falso) dato un certo P a patto di avere quel teorema vero, capisco quindi che ogni volta devo a conti fatti verificarlo caso per caso.

Grazie.

[gandolfo_m]

Salve, sono alle prese con Cauchy-Schwarz in un pdf dell'università di Roma e ho un problema nel capire la dimostrazione. Questa discussione mi ha messo le idee a posto su alcune delle probelmatiche che avevo, ma una non riesco a capirla in nessun modo.

La dimostrazione è siffatta:
1# Assunti $x=0$ o $y=0$ la disuguaglianza è banalmente vera.
2# Siano $x!=0$ e $y!=0$ e dimostra che ottengo: $|x*y|<=||x||*||y||$
3# dalla formula ricavata al punto 2# (quindi faccio notare con $x!=0$ e $y!=0$ che serve per il dubbio) si osserva che si ha in particolare l'uguaglianza se e solo se $x=lambdax$

Voglio soffermarmi sull'uguaglianza che è quella che non ho capito. Abbiamo da dimostrare come avete detto anche voi: $|x*y|=0$ <=> $x=0$ o $y=0$ o $x=lambday$ quindi P<=>(Q o R o S).

Con il punto 2# faccio la => infatti (P e !Q e !R)=>S equivale a P=>(Q o R o S). Questo problema grazie a voi l'ho capito.

Però non capisco il discorso della dimostrazione di (Q o R o S)=>P, perché la spezza nel punto 1# dicendo
$x=0$ o $y=0$ => $|x*y|=0$ nella nostra terminologia: (Q o R)=>P.
Dovrei poi dimostrare $x=lambdax$=>$|x*y|=0$ così da avere utilizzando sia 1# che 3#:
((Q o R)=>P e S=>P) equivalente a (Q o R o S)=>P.
Difatti qualcosa di simile si vede nel punto 3#, ma qui viene anche il problema perché sfrutta $|x*y|<=||x||*||y||$ (quando dice: si ha l'uguaglianza se e solo se x=λx al punto 3#) però con le ipotesi $x!=0$ e $y!=0$ quindi in realtà dimostra ((Q o R)=>P e (S e !Q e !R)=>P), mi sembra di avere !Q e !R in aggiunta così.

Io sinceramente avrei semplicemente dimostrato la (Q o R o S)=>P così: se assumo $x=0$ e vedo che $|x*y|=0$ E se assumo $y=0$ ho che $|x*y|=0$ E se $x=lambday$ ho che $|x*y|=0$. QED
Facendo così mostro semplicemente: Q=>P e R=>P e S=>P che è quello che volevo. Il metodo del pdf non lo capisco.

Qualcuno sa dirmi cosa sta facendo? Mi sto letterlamente (di)struggendo sopra.

notazione: ! è not. Non so scriverlo


Mi incuriosisce poi chidere a margine un'altra cosa: quando ho necessità di mostrare (P o Q) => R e vedo che data una delle due vera P,Q trovo R vera, questo dimostra l'implicazione perché per far si che (P o Q) sia vera mi basta che una delle due lo sia. Se quindi mostro che data P vera ho R così come quando Q vera ho R allora per antecedente vero ho sempre conseguente (R) vero. Spero sia giusto.

[Martino]

Ciao,

A parte che scrivi delle inesattezze del tipo $x=lambda x$ che dovrebbe essere $y=lambda x$, e poi scrivi $|x*y|=0$ che invece dovrebbe essere $|x*y|=||x||*||y||$, il tuo dubbio mi sembra che si riduca a questo:

in realtà dimostra ((Q o R)=>P e (S e !Q e !R)=>P), mi sembra di avere !Q e !R in aggiunta così.

Sì ma il punto è che

(Q o R o S) => P
è equivalente a
(Q o R) => P e (S e !Q e !R) => P.

Se lo pensi in termini di insiemi la cosa è praticamente ovvia. Se $P,Q,R,S$ sono insiemi,
"$Q uu R uu S subseteq P$" è equivalente a "$Q uu R subseteq P$ e $S nn Q^c nn R^c subseteq P$"

dove il $c$ a esponente indica il complementare. Poi osservi che $S nn Q^c nn R^c = S-(Q uu R)$. Fai un disegno.

Mi sembra di capire che tu ti chiedi "ma non era più semplice mostrare che Q=>P e che R=>P e che S=>P? (Cioè nel linguaggio insiemistico $Q subseteq P$, $R subseteq P$ e $S subseteq P$). Boh dipende, c'è chi trova più semplice l'altro metodo.

Mi incuriosisce poi chidere a margine un'altra cosa: quando ho necessità di mostrare (P o Q) => R e vedo che data una delle due vera P,Q trovo R vera, questo dimostra l'implicazione perché per far si che (P o Q) sia vera mi basta che una delle due lo sia. Se quindi mostro che data P vera ho R così come quando Q vera ho R allora per antecedente vero ho sempre conseguente (R) vero. Spero sia giusto.

Sì ok, stai dicendo che

(P o Q) => R
è equivalente a
P=>R e Q=>R

Questo è vero. Di nuovo, se la pensi in termini di insiemi (supponi P,Q,R insiemi) stai dicendo che $P uu Q subseteq R$ se e solo se $P subseteq R$ e $Q subseteq R$, che è vero (fai un disegno).

[gandolfo_m]

Ciao

Quelli che segnali sono grandi errori di battitura e copia incolla che mi sono poi portato dietro per non riscrivere ogni volta. Non sono abituato a ragionare su schermo e mi sono incasinato tra segni, dollari ecc. Ma hai ben interpretato i miei errori ed è proprio come hai inteso.

Per prima cosa non ero sicuro di poter rendere

1# Assunti $x=0$ o $y=0$ la disuguaglianza è banalmente vera.
2# Siano $x!=0$ e $y!=0$ e dimostra che ottengo: $|x*y|<=||x||*||y||$
3# dalla formula ricavata al punto 2# (quindi faccio notare con $x!=0$ e $y!=0$ che serve per il dubbio) si osserva che si ha in particolare l'uguaglianza se e solo se $x=lambdax$

con questa "e" (grassetto): (Q o R) => P e (S e !Q e !R) => P, perché era una lista di tre punti 1#,2#,3# e non capivo se leggerli come legati da "e" oppure "or". Però mi sembra che la mia interpretazione almeno sia corretta.

Sì ok, stai dicendo che

(P o Q) => R
è equivalente a
P=>R e Q=>R

Questo è vero. Di nuovo, se la pensi in termini di insiemi (supponi P,Q,R insiemi) stai dicendo che $P uu Q subseteq R$ se e solo se $P subseteq R$ e $Q subseteq R$, che è vero (fai un disegno).

Su questa avrei due domande da porre:

la prima è, quando trovo (P o Q) ho adesso capito di poter dire "provo P=>R e (assieme) provo Q=>R". Però mi chiedevo, c'è un modo di non spezzettarlo così? Mi chiedo in pratica se si possa dimostrare (P o Q) => R prendendo (P o Q) come ipotesi in toto, senza spezzettarla in due dimostrazioni. Non riesco a farlo in effetti, il mio processo mentale è sempre di verificare prima per P e poi per Q.

la seconda domanda invece è utile anche per il prosieguo: quando scrivi,
$P uu Q subseteq R$ se e solo se $P subseteq R$ e $Q subseteq R$ di solito la e in modo insiemistico è vista come intersezione qui invece mi pare di doverla leggere come "devono verificarsi entrambe", quindi la lascio "e" logica? Right?
Siccome mi sembra proprio così non capisco però come interpretare graficamente la "e", quando scrivo P⊆R e Q⊆R devo disegnare Q sottinsieme di R che si verifica assieme a P sottoinsieme di R, però graficamente non comprendo come mostrare che sia uguale a (P∪Q)⊆R.
Si verificano assieme che P⊆R e Q⊆R ok, e quindi? perché è uguale a (P∪Q)⊆R?

"$Q uu R uu S subseteq P$" è equivalente a "$Q uu R subseteq P$ e $S nn Q^c nn R^c subseteq P$"

Poi osservi che $S nn Q^c nn R^c = S-(Q uu R)$. Fai un disegno.

Quanto detto si ripercuote nel dubbio legato sul disegno, perché quell' "e" della
"$Q uu R subseteq P$ e $S nn Q^c nn R^c subseteq P$" non la capisco appieno, mi viene facile invece vederla con l' "or", infatti graficamente mi verrebbe che $((Q uu R) uu (S ∩ !Q ∩ !R)) subseteq P$ e ovviamente $((Q uu R) uu (S-(Q uu R))) subseteq P$ graficamente ci siamo essendo proprio $Q uu R uu S subseteq P$... ma quella "e" perché posso vederla come unione?

Direi invece che per il resto ho capito tutto e soprattutto l'errore che facevo: non era un errore ma non mi ero accorto dell'equivalenza logica che mi ha messo in mostra, mi manca solo da aggiustare queste cose.

[Martino]

Non capisco, hai dei dubbi sul fatto che $P uu Q subseteq R$ è equivalente a dire che $P subseteq R$ e $Q subseteq R$? A me sembra abbastanza ovvio.

Poi sull' "e" sì va visto in senso logico, e tutte le cose che hai scritto si possono dimostrare facilmente con le tabelle di verità o con dimostrazioni insiemistiche di base. Non capisco quale sia il problema.

Ma poi nella pratica non starai (spero) a fare tutti questi ragionamenti. Mi sembra chiaro che se vuoi dimostrare che P o Q implica un certo R prima supponi P e dimostri R, poi supponi Q e dimostri R. Non si tratta di un raffinatissimo argomento logico, è una cosa banale.