Campo di spezzamento

[francicko]

Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti in $Q$ , provare l'esitenza di un campo di spezzamento è facile basta usare l'induzione, molto più complicato dimostrarne l'unicità, od in modo equivalente che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio sono isomorfi, quale è l'idea che sta alla base della dimostrazione?

[Martino]

La dimostrazione è tecnica e la trovi sui libri, per esempio sul Jacobson, Basic Algebra I.

[francicko]

D'accordo sarà anche tecnica ma un idea di base la deve avere, onestamente ho provato a leggerla ma non ho capito granché, usa l'induzione, in fondo se esistono due campi di spezzamento di uno stesso polinomio deve costruire un isomorfismo tra i due campi, giusto? Quale è questo isomorfismo?
Se mi limito ai polinomi di secondo grado, possiamo costruire solo due campi di spezzamento isomorfi $Q(x_1)$ $ ~~$ $Q(x_2)$ dove $x_1,x_2$ sono lersdici del polinomio.

[Martino]

L'idea è la seguente.

Teorema. Dato un isomorfismo di campi $sigma:K to F$ e dati $f(x) in K[x]$ e $f_♧(x) in F[x]$ la sua immagine (ottenuta cioè da $f(x)$ applicando $sigma$ ai coefficienti), e dati $M$, $N$ campi di spezzamento di $f,f_♧$ su $K,F$ rispettivamente, esiste un isomorfismo $M to N$ che estende $sigma$.

Il teorema deve essere formulato per forza così perché altrimenti l'induzione non funziona. Poi tu lo specializzi al caso che ti interessa, cioè $K=F$ e $sigma$ è l'identità.

Dimostrazione del teorema (sketch). Induzione su $|M:K|$. Il caso base è facile, facciamo il caso $|M:K|>1$. Prendiamo $h(x) in K[x]$ fattore irriducibile di $f(x)$ in $K[x]$, di grado maggiore di $1$ (la cui esistenza è facile dimostrare usando $|M:K|>1$), e sia $h_♧(x)$ la sua immagine in $F[x]$. Prendiamo $u in M$ radice di $h(x)$ e $v in N$ radice di $h_♧(x)$. Si dimostra facilmente che esiste $tau: K(u) to F(v)$ isomorfismo di campi che estende $sigma$ e manda $u$ in $v$. Ma è chiaro che $M$ è campo di spezzamento di $f(x)$ su $K(u)$ e $N$ è campo di spezzamento di $f_♧(x)$ su $F(v)$ e il grado $|M:K(u)|$ è strettamente minore di $|M:K|$ perché il rapporto $|M:K|/|M:K(u)| = |K(u):K|$ è uguale al grado di $h$, quindi è strettamente maggiore di $1$. Per ipotesi di induzione abbiamo quindi che $tau$ si estende a un isomorfismo $gamma: M to N$. Siccome $gamma$ estende $tau$ e $tau$ estende $sigma$, abbiamo che $gamma$ estende $sigma$. Fine. $square$