Gruppo Automorfo

[Kiretta94]

Buongiorno, sto studiando algebra 1 e non riesco a trovare la dimostrazione che se AutG={idG} allora |G|<3, sul mio libro è proposto come esercizio e non lo trovo altrove. Grazie mille in anticipo!

[Kiretta94]

Se P.A. si suppone |G|>2 Nel caso in cui G non sia abeliano posso considerare un elemento g che non appartenga al suo Centro e f(x)=x^g (coniugato di x) è un Automorfismo diverso da quello idG.
Nel caso in cui G sia abeliano ho l'applicazione che associa ad ogni elemento il suo inverso, che però coincide con quella identica se tutti gli elementi di G\{1} sono involuzioni e qui mi sono bloccata.

[hydro]

Se $g^2=1$ per ogni $g$ significa che il tuo gruppo è tutto di 2-torsione e di conseguenza è uno spazio vettoriale su $\mathbb F_2$. Ora fissa una base: se il gruppo ha almeno 4 elementi puoi sempre scrivere un automorfismo che altro non è che una mappa $\mathbb F_2$-lineare.

[Kiretta94]

Grazie per la risposta. Purtroppo sono argomenti che non conosco, potresti essere più dettagliato? F2 è un campo finito di ordine 2? Andrebbero bene le classi di resto modulo 2? Grazie mille

[megas_archon]

F2 è un campo finito di ordine 2? Andrebbero bene le classi di resto modulo 2? Grazie mille

Potayto, potato.

[hydro]

Grazie per la risposta. Purtroppo sono argomenti che non conosco, potresti essere più dettagliato? F2 è un campo finito di ordine 2? Andrebbero bene le classi di resto modulo 2? Grazie mille

Sì esatto. Se preferisci, chiama $C_2$ il gruppo con 2 elementi. Un gruppo dove ogni elemento è di 2-torsione è isomorfo a $C_2^I$, dove $I$ è un insieme. Questo è il gruppo delle funzioni da $I$ a $C_2$, con l'operazione di prodotto definita coordinata per coordinata.