Criterio di Irriducibilità di polinomi in Q[X]

[Kiretta94]

Salve, il mio libro di algebra mi propone un esercizio in cui si chiede di dimostrare che considerato un polinomio a coefficenti razionali in cui sia a0 che an sono diversi da zero irriducibile, allora anche il polinomio che si ottiene con i coefficenti in ordine inverso, cioè an+...+a0x^n è irriducibile in Q[X].
L'esercizio viene prima del paragrafo sulle radici e subito dopo aver parlato del criterio di Eisenstein e dell'irriducibilità del p-esimo polinomio ciclotomico. Spero mi possiate dare una mano! Grazie mille

[hydro]

Supponi che $a_n+\ldots+a_0x^n=f(x)g(x)$, con $f,g$ di grado almeno $1$. Adesso valuta quest'uguaglianza in \(1/x\) e moltiplicala per $x^n$.

[Kiretta94]

Hydro grazie sempre per le tue risposte, nella costruzione dell'anello dei polinomi abbiamo identificato X come (0,1,0,...0...) Chi sarebbe 1/X? Oppure devo identificare il polinomio con la sua applicazione polinomiale dato che siamo in un campo infinito?

[megas_archon]

Credo che hydro intenda questo: chiama \(p^\text{rev}\) il polinomio coi coefficienti swappati.

Ora, \(\mathbb Q[X]\hookrightarrow \mathbb Q[X,Y]/(XY-1)\), e in quest'ultimo ha senso valutare \(p^\text{rev}(X)=f(X)g(X)\) "in \(1/X\)". Del resto ora, \(X^n p^\text{rev}(1/X)=p(X)\), e quindi...

[hydro]

Ok, se vuoi un'altra dimostrazione prova a dimostrare questa affermazione. Dato un polinomio $f$, chiama $\tilde{f}$ il polinomio con i coefficienti girati. Se $\tilde{f}=gh$ è una fattorizzazione non banale, allora $f=\tilde{g}\tilde{h}$ è una fattorizzazione non banale. Da questo segue direttamente il claim che vuoi tu, perchè ti sta dicendo che se $\tilde{f}$ è riducibile allora anche $f$ lo è.