Esercizio di algebra 1: domande

[Andyge]

Ciao a tutti, siccome sto studiando algebra 1, ho trovato questo esercizio che dovrei saper fare, ma in realtà non so bene come muovermi. Ho tentato una soluzione delle prime due domande, che mi sembra che possa funzionare, ma non ne ho la certezza. Per la terza invece non so bene cosa fare.

Sia K un campo ed $n\in \N$. Sia $H_n={x \in K | x^n=1}$. Provare o confutare le seguenti affermazioni:
a) $H_n$ sottogruppo di K rispetto alla struttura additiva;
b) $H_n$ sottogruppo di K rispetto alla struttura moltiplicativa;
c) Sia $K=Z_{13}$. Determinare esplicitamente $H_n$ per ogni $n\in \N$ e verificare che $H_n$ è ciclico.


Io ho provato a pensarci un po' e direi che la (a) è falsa. Come controesempio ho pensato a $Z_3$ e con $n=2$ e la struttura additiva mi pare che $H_2={\overline{2}}$, nel senso che $\overline{2}+\overline{2}=\overline{4}; \; \overline{4}=\overline{1} mod 2$, mentre gli altri elementi del campo non stanno in H2. Quindi $H_2$ non è un gruppo.

La (b) è vera perché con la moltiplicazione, in Hn c'è sicuramente l'elemento neutro e, dati due qualunque elementi, il loro prodotto continua a fare 1, per cui resta in Hn. Anche l'inverso dovrebbe esserci, per ogni elemento la cui potenza n-esima fa 1.

La (c) invece non so come farla. Immagino che non si chieda di calcolare le potenze n-esime con tutti i possibili numeri naturali perchè ci vorrebbe un po' troppo tempo . Però non mi viene in mente molto.
Ho pensato che $x^n=1$ mod 13, cioè $x^n-1=13\cdot m$ per qualche $m\in\Z$, ma poi non so che farmene di questa cosa. Quindi non so nemmeno verificare che è ciclico.

In realtà non so nemmeno se ho capito cosa si debba fare nelle due domande precedenti!

[megas_archon]

La (b) è vera perché con la moltiplicazione, in Hn c'è sicuramente l'elemento neutro e, dati due qualunque elementi, il loro prodotto continua a fare 1, per cui resta in Hn. Anche l'inverso dovrebbe esserci, per ogni elemento la cui potenza n-esima fa 1.

Garbled. Meglio dire che se \(x,y\in H_n\) allora \((xy)^n=x^ny^n=1\cdot 1=1\), e che \((x^{-1})^n = (x^n)^{-1}=1\).

Poi, quante soluzioni abbia l'equazione \(X^n\equiv 1\pmod{13}\) dipende dal massimo comun divisore tra $n$ e $13$, direi.

[Andyge]

Sì sì, mi ero impigrito di scriverlo in Latex, ma nel mio fogliaccio cartaceo l'avevo pensato così. In realtà ora che lo rileggo mi accorgo che avevo dato per scontato che $(xy)^n=x^ny^n$, quando invece è vero solo perché siamo in un campo. Mannaggia, sono proprio acerbo in algebra. Per l'ultima parte ci penso ancora un po'. Sto notando che essendo 13 un primo le cose si semplificano (forse). Ci penso, ci penso Grazie intanto!