Equazione diofantea.

[galli4]

Ho difficoltà nella risoluzione dell'equazione diofantea
x⁴ - 2x²y - 340y² + x² - y+1=0
Sono riuscito a dimostrare che y deve essere dispari.
Grazie per l'aiuto.

[Stickelberger]

Cerchi soluzioni $x,y\in ZZ$?

Se completiamo il quadrato e chiamiamo $z=x^2-y$, otteniamo

$z^2-341y^2+z + 1=0$.

Sai concludere?

[galli4]

Ho provato a risolvere l'equazione, considerando z come incognita, ma non riesco a dimostrare il perché il suo discriminante non possa essere un quadrato.

[Stickelberger]

$341$ e' divisibile per $11$. Abbiamo quindi che

$z^2+z+1\equiv 0$ modulo $11$.

Non esiste $z\in ZZ$ con questa proprieta'.
Perche' il discriminante dell'equazione quadratica e' $-3$,
e $-3$ non e' un quadrato modulo $11$

[galli4]

Grazie mille!