Funzione iniettiva e definizione

[alterbi]

Ho bisogno di voi per capire il comportamento dei quantificatori logici nella definizione di funzione iniettiva

Sappiamo essere
$AA (x,y),f(x)=f(y) → x=y$

e la sua negazione è:

$∀ ( x , y ) , f ( x ) = f ( y ) → x = y$ (non per tutti vale l'implicazione)
$∃ ( x , y ) : f ( x ) = f ( y ) ↛ x = y $ (ovvero esiste almeno un caso in cui l'implicazione è falsa)
$∃ ( x , y ) : f ( x ) = f ( y ) ∧ x ≠ y$ (ovvero esiste almeno un caso in cui l'antecedente è vero ma il conseguente è falso: la funzione assume lo stesso valore in corrispondenza di elementi distinti del dominio)

Sto quindi sfruttando $¬(P→Q)$ equivale logicamente a $P and ¬Q$, però generalmente quando scrivo:
$P→Q$ intendo in modo compatto la solita $AAx,(P(x)→Q(x))$.
Non mi è chiaro quindi perché $¬(P→Q)$ sia da intendersi come $∃x,(P(x) and ¬Q(x)))$ infatti il "per ogni" sta sempre a inizio "frase", se scrivo $P and ¬Q$ non vuol dire $AAx,(P(x) and ¬Q(x)))$?

Voglio quindi capire come comprendo che se mi trovo di fronte a $P and ¬Q$ ci metto un "esiste" e non un usuale "per ogni", da cosa lo capisco?
Per far capire meglio il quesito posto: voglio quindi capire come è la regola per cui se ho $P→Q$ allora lo leggo $AAx,(P(x)→Q(x))$; mentre se ho $P and ¬Q$ non lo leggo $AAx,(P(x) and ¬Q(x))$ ma allora come capisco quando metterci il per ogni e quando un esiste?

Infatti se così fosse quando ho $A and B$, che ho sempre inteso come $AAx, (A and B)$, potrebbe benissimo essere letto $∃x, (A and B)$, proprio come per $P and ¬Q$ non anticipandolo con $AA$.

[Quinzio]

Perche' quello che devi negare e' il "per ogni", non tanto l'implicazione.
Il "per ogni" si puo' leggere come l'AND logico di tutte le proposizioni che sono osservate. (*)
Quindi la negazione del "per ogni" diventa la negazione dell' AND che quindi diventa un OR delle proposizioni negate.
Per capirci meglio:
ho delle proposizioni $A,B,C,...$ che chiamo genericamente $p$.
Ad es. le proposizioni possono essere le nostre implicazioni $A: f(n_1) = f(n_2) rarr n_1 = n_2$
Il significato del "per ogni" e'

$forall p = A ^^ B ^^ C ^^ ...$

quindi la negazione diventa, secondo le leggi di De Morgan,

$not forall p = not (A ^^ B ^^ C ^^ ...) = not A vv not B vv not C vv ...$

Il significato di $not A vv not B vv not C vv ...$ e' "almeno una proposizione e' falsa", ovvero esiste almeno una proposizione falsa,

da cui la negazione del $forall p $ e'

$not forall p = exists not p$

(*) Infatti personalmente questi connettori logici "per ogni", "implica", "se e solo se" non piacciono molto perche' c'e' il rischio che in tanti si perdano e non capiscano il significato logico "nudo e crudo" che ci sta dietro.
Se venisse semplicemente usata la logica booleana non ci sarebbero piu' molti dubbi, spiegando di volta in volta qual e' il linguaggio naturale che sta' dietro alle espressioni.

[alterbi]

Ringrazio per la spiegazione che è un ottimo ripasso per la mia ignoranza in logica.

Però, sebbene abbia ben capito il tuo discorso, mi rimane il tarlo di non aver capito del tutto quello che volevo chiedere. Ti spiego.

# $P→Q$ si legge ovviamente $∀x,(P(x)→Q(x))$
# così come $AandB$ è la versione "semplificata" per dire $∀x,(A(x)andB(x))$.
# In questo metodo di leggere le proposizioni verebbe da concludere che $¬(P→Q)$ essendo equivalente a $P and ¬Q$ sarebbe da leggersi $AAx,(P(x) and ¬Q(x))$.
però proprio per i motivi da te esposti (cioè sottointendendo la negazione del quantificatore "per ogni") è invece da leggere correttamente come $∃x,(P(x) and ¬Q(x))$.

] Quindi se io mi trovo davanti a questi 3 differenti casi: $P→Q$, $Aand B$ , $P and ¬Q$ cosa mi fa capire che le prime due richiedono il quantificatore $AA$ e la terza l'$∃$ nella formulazione diciamo così "estesa" esplicitando x? Perché induttivamente verrebbe da piazzarci dentro un "per ogni" anche nella terza delle tre.

[Quinzio]

Ringrazio per la spiegazione che è un ottimo ripasso per la mia ignoranza in logica.

Però, sebbene abbia ben capito il tuo discorso, mi rimane il tarlo di non aver capito del tutto quello che volevo chiedere. Ti spiego.

# $P→Q$ si legge ovviamente $∀x,(P(x)→Q(x))$

Su quello che che hai scritto qui non sono sono d'accordo in generale, nel senso che $P$ e $Q$ sono delle proposizioni qualunque. Ad es. $P$ puo' significare "qui adesso fa caldo", oppure "Bologna e' in Italia", oppure "la radice quadrata di 9 e' 3".
In questo senso non ha senso dire che $P$ si deve leggere $P(x)$ o qualcosa del genere. Dipende da cosa stai dicendo.
D'altra parte tante proposizioni possono avere senso come $P(x)$. Ad esempio: in ogni citta' italiana adesso la temperatura e' sopra allo zero, si puo' scrivere come $forall x, T(x) > 0 $ dove $x$ e' una citta' italiana.
Ma di nuovo, dipende da cosa stai dicendo.

# così come $AandB$ è la versione "semplificata" per dire $∀x,(A(x)andB(x))$.
# In questo metodo di leggere le proposizioni verebbe da concludere che $¬(P→Q)$ essendo equivalente a $P and ¬Q$ sarebbe da leggersi $AAx,(P(x) and ¬Q(x))$.
però proprio per i motivi da te esposti (cioè sottointendendo la negazione del quantificatore "per ogni") è invece da leggere correttamente come $∃x,(P(x) and ¬Q(x))$.

] Quindi se io mi trovo davanti a questi 3 differenti casi: $P→Q$, $Aand B$ , $P and ¬Q$ cosa mi fa capire che le prime due richiedono il quantificatore $AA$ e la terza l'$∃$ nella formulazione diciamo così "estesa" esplicitando x? Perché induttivamente verrebbe da piazzarci dentro un "per ogni" anche nella terza delle tre.

Dipende tutto dal contesto, da cosa vuoi dire, di cosa stai parlando. Non esiste una regola generale.
Ad esempio, per le funzioni iniettive, la definizione e' quella che hai scritto, col quantificatore "per ogni".
Viceversa, se prendiamo la definizione di massimo assoluto

$exists x_0: forall x, f(x_0) \ge f(x)$

vediamo che bisogna usare i quantificatori "esiste" e "per ogni" in questo modo.
Ma cosa mi fa capire che devo scrivere $exists x_0$ invece che $forall x_0$ ?
Dipende da quello di cui stai parlando, dall'argomento, da cosa e' vero o e' falso.

[alterbi]

Su quello che che hai scritto qui non sono sono d'accordo in generale, nel senso che P e Q sono delle proposizioni qualunque

Sì in effetti $P(x)$ sono predicati e $P$ proposizioni, però quantificandoli mi pare che dovrei trasformare un qualsiasi predicato in proposizione e per questo si otterrebbe la scrittura $AAx,(P(x)→Q(x))$ => $P→Q$ e sempre per questo parlavo anche del viceversa $AAx,(P(x)→Q(x))$ <= $P→Q$
Quindi dovrebbe esserci proprio quel legame.

In quest'ottica non mi funziona tanto l'esiste ($∃x,(P(x)and¬Q(x))$ => $Pand¬Q$) perché la quantificazione (passaggio da predicato a proposizione) la facevo con il per ogni e non con l'esiste.

Inoltre mi aveva incuriosito notare che: $¬(P→Q)$ è equivalente a $Pand¬Q$ pur non toccando alcun quantificatore.
E che un discorso analogo funziona anche introducendo il quantificatore (come fosse un caso più generale), infatti anche quantificando: $¬AAx,(P(x)→Q(x))$ porta a qualcosa di analogo al caso senza quantificatori, cioè questa espressione $∃x,(P(x)and¬Q(x))$ (tuttavia con l'aggiunta di un esiste rispetto al caso non quantificato).
E' quindi abbastanza curioso che sussista un legame:
$¬(P→Q)$ è equivalente a $Pand¬Q$ <=> $¬AAx,(P(x)→Q(x))$ equivalente a $∃x,(P(x)and¬Q(x))$

Mi sembrava che il legame fosse proprio dovuto al motivo che quantificando un predicato si ha una proposizione e quindi facdendo così risulta ragionevole comportamento analogo tra proposizione e predicato: proprio perché sto usando la stessa proprietà tra proposizioni (una volta che ho quantificato il predicato ho una proposizione), ma non riesco a farmi tornare il cambio del $AA$ in $∃$ sfruttando quest'ottica.
Dici che è così sbagliato? A me sembra valido quello che dicevo sul quantificare i predicati.