Buongiorno, sto cercando di risolvere un problema su un'estensione finita di un campo finito, e mi trovo in difficoltà.
Il problema è questo: << Provare che l'estensione finita K di un campo finito F è semplice>>.
Allora, abbiamo un campo finito F, una sua estensione finita K, e bisogna dimostrare che K è semplice, ossia che esiste un elemento $ alpha in $ K tale che K = F( $ alpha $ ).
Se F fosse infinito basterebbe applicare il teorema dell'elemento primitivo. Qui però ciò non si può fare, perché F è finito. Però sappiamo che per i campi finiti vale la seguente proprietà: il gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico. Quindi, chiamando $ Phi $ il gruppo moltiplicativo del campo F, sappiamo che esiste un elemento $ lambda in Phi $ tale che $ Phi =< lambda > $ .
A questo punto, però, non riesco più a procedere oltre. Qualcuno riesce a darmi un suggerimento?
Grazie