Dimostrazione sui divisori di un numero.

[galli4]

Sto incontrando difficoltà nel dimostrare il seguente teorema.
Sia n un numero intero somma di due quadrati. Dimostra che ogni suo divisore è somma di due quadrati.

[Martino]

Non è vero, per esempio $3^2+3^2=9+9=18$ è divisibile per $3$ ma $3$ non è somma di due quadrati.

Suggerisco di riportare l'esercizio per intero e/o fornire il contesto del problema.

[galli4]

Hai ragione: i due numeri sono quadrati di due numeri coprimi. Avevo omesso questa ipotesi.

[Martino]

Non so cosa tu possa usare e cosa no, ma ti indico il procedimento che seguirei io.

Prendi un $n=a^2+b^2$ con $a,b$ coprimi e dimostra che ogni primo dispari $p$ che divide $n$ soddisfa $p -= 1 mod 4$. Ora (non so se lo sai, ma immagino di sì) i numeri primi congrui a $1$ modulo $4$ sono somma di due quadrati e puoi concludere usando la formula

$(x^2+y^2)(z^2+w^2) = (xz+yw)^2+(xw-yz)^2$,

che implica che l'insieme degli interi che sono somma di due quadrati è chiuso per moltiplicazione.