.Per la seconda volevo invece provare a riassumere perché temo che cercando di spiegare nel minimo dettaglio il mio pensiero logico ho finito per fare un discorso ipermegaautoconvolvente: ho aspettato un giorno a riprenderlo in mano apposta per far sedimentare le mie certezze e mi accorgo che la chiarezza che pensavo di aver avuto è tutt'altro che "chara".
Credo il mio dubbio sia nei due casi semplicemente riassumibile così:
1)
Partiamo dalle certezze:
Definizione:
$f(W^⊥):={f(x)|x in W^⊥}$ è per definizione
1)per ogni $y in f(W^(bot))$ esiste $x in W^(bot)$ tale che $y=f(x)$.
(+)
2) Per ogni $x in W^⊥$ => $y:=f(x) in f(W^⊥)$.
Inclusione:
Dimostrare che due insiemi sono uno sottoinsieme dell'altro $f(W)⊆W$, vuol dire mostrare che se un elemento appartiene a uno allora appartiene all'altro $y in {f(x)|x in W^⊥}$ allora $f(x)=y in W^⊥$.
Ora, l'ultima scrittura vuol dire che assunto ogni y in ${f(x)|x in W^⊥}$ allora $y in W^⊥$. Ogni y, quindi, e mi soffermo su questo.
Se seguo invece la via del prof egli dice: basta dimostrare che per ogni $x∈W^⊥$ si ha $f(x)∈W^⊥$
Il dubbio: (sull'ipotesi del prof.)
se io prendo qualsiasi $x$ in $W^⊥$ posso esser sicuro che ho un elemento di ${f(x)|x in W^⊥}=f(W^⊥)$, ma posso dire di averli tutti? In realtà mi pare di no!
Con il metodo del prof mi sembra solo di dimostrare che: prendo tutte le x, quindi così facendo ho a sua volta quegli elementi y=f(x) per cui esiste una x e che sono elementi di $f(W^⊥)$ e dimostro che sono anche elementi di $W^⊥$. Ma non ho preso tutti gli elementi di $f(W^⊥)$, a priori no, ho solo preso tutti gli elementi che discendono da una certa x ma potrei avere degli elementi di $f(W^⊥)$ che non hanno alcuna x.
Devo per forza sfruttare il punto 1) della definizione per poter dire che 1+2 mi garantiscono che scelta ogni x ho OGNI elemento di $f(W^⊥)$. mentre a me non sembra di farlo/esplicitarlo dicendo assumo tutte le x in $W^⊥$ .
2)
Il secondo dubbio è molto simile perché gioca sempre su per ogni ed esiste.
Definizione:
Qui noi abbiamo A={mx : x∈R}:
1) Per ogni a∈A esiste x∈R tale che a=mx.
2) Per ogni x∈R si ha mx∈A.
Cosa vorrei dimostrare:
Vorrei mostrare l'intuizione grafica per cui quando io prendo ogni x nelle ascisse, trovo tramite mx una a che è sicuramente reale, questo sì. Però vorrei dimostrare anche qualcosa di più ovvero che mettendo uno alla volta tutti i numeri reali nelle x ritrovo con a tutti i reali (uno a uno diciamo).
Quindi di cosa avrei bisogno, avrei bisogno di mostrare che l'insieme degli mx, con x tutti i reali, sono ancora tutti i reali.
Bene, se io parto da: "per ogni $a∈A$, (per 1) esiste $x∈R$" posso esser certo che per tutti gli $a$ trovo alcuni $x$ in R, graficamente la retta data dall'insieme dei punti $A$ è piena mentre vista così ho solo alcuni x della retta $R$ (per via di esiste: per tutti gli elementi/punti di A ho alcuni/esistono degli elementi in R). Ora dimostro che $mx=a$ è un numero reale. Così facendo ho mostrato che l'insieme dei punti a è sicuremante l'insieme reale (e sono d'accordo) però io ho mostrato che mi bastano solo alcuni (esistono alcuni) punti delle ascisse per averlo (non di tutte), mentre l'intuizione ci dice che dovrei scegliere tutte le x, tutta la retta delle ascisse va sostituita in mx per avere tutte le a di A.
Questo è vero solo se considero il punto 2) della definzione, perché è il punto due che ci garantisce che ogni elemento x ci dà degli elementi a in A. Ma questo nella dimostrazione non lo metto in mostra, invece mi pare importante.
