Dimostrazione algebrica semplicissima (tramite inverso del gruppo R)

[Martino]

Sì quello che dici è corretto.

[gualtieroilvero]

Perfetto, grazie mille. Almeno quel dubbio è 'andato'.

Lascio quindi aperto solo questo post per non perderlo in mezzo a mille altri:

grazie mille, però facendo nel 'mio modo' non sorge un piccolo problemino?
*mostro che per ogni $x$ nei reali ho una $a$ reale
*mostro che per ogni $a:=r$ nei reali ho una $x$ nei reali
Unendo le due dimostrazioni non mi sembra dimostrare come invece risulta evidente nella dimostrazione di Martino che sostituendo in $x$ tutti i reali ritrovo con $a$ tutti i reali, posso solo dire che per ogni $x$ ho una $a$, ma non mi permette di concludere che tutti i risultati $a$ sono l'insieme reale (con a: $a=mx$ che trovo sostituendo tutte le $x$ reali).
Mi pare che unicamente sfruttare gli insiemi come fa Martino si dia risposta completa a questo, sbaglio?

Se come dicevi qualcuno avrà modo intervenire, qualunque sia il caso ci ragionerò in questi giorni.

Buon ferragosto a tutti!

[axpgn]

... a me sembra l'insieme A sia ... Mentre io vorrei ...

E ti sembra male.
Tu pretendi di costruire l'insieme $A$ partendo dall'insieme $A$ che ancora non c'è!!!
Non devi volere, devi prendere atto che esiste un insieme creato da Martino secondo certe modalità. Punto.
Solo POI si dimostra che $A=RR$

Ok?

[axpgn]

@gualtieroilvero
La modalità standard per dimostrare che due insiemi coincidono è quello della doppia inclusione (ognuno dei due insiemi è sottoinsieme dell'altro).
Anche a me sembra che col tuo ragionamento tu non riesca a dimostrare che i due insiemi coincidano.
Però ciò non implica che la tesi si possa raggiungere solo col metodo della doppia inclusione

[gualtieroilvero]

@axpgn

Anche a me sembra che col tuo ragionamento tu non riesca a dimostrare che i due insiemi coincidano.

no, certo, sia chiaro: non volevo dire che non ci sono altri modi. Volevo solo chiedere se 'il mio' non fosse un buon modo.
Mi sembrava infatti avesse solo una idea embionalmente giusta, ma poi mancava di fatto il mostrare fosse tutto R proprio perché:
*mostro che per ogni x nei reali ho una a reale
*mostro che per ogni a:=r nei reali ho una x nei reali
mi diece solo per ogni x ho una a e per ogni a ho una x che sono nei reali. Ma non dice quello che volevamo:
' ' sostituire ogni x nei reali ci ridà con a=mx tutti i reali ' ', questo invece lo dimostra bene Martino.
Era solo questo che volevo dire!

Ti ringrazio per aver sconfessato la mia dimostrazione, mi fa sentire sereno. La doppia inclusione invece funziona!

Grazie ancora a tutti

[sisterioso]

A ingegneria queste cose non vengono viste nemmeno da lontano, la matematica la userai come strumento e non come oggetto di studio (un po' come la logica è strumento per capire la matematica).

E' proprio la sensazione che ho avuto.
Già, solo che quando ti iscrivi non lo sai: il luogo comune è che l'ingengere SA bene la matematica, fine. E uno finisce per crederci. Poi, vivendolo sulla tua pelle, ti accorgi che non è così perché i corsi non affrontalo le cose come vorresti .

[sisterioso]

... a me sembra l'insieme A sia ... Mentre io vorrei ...

E ti sembra male.
Tu pretendi di costruire l'insieme $A$ partendo dall'insieme $A$ che ancora non c'è!!!
Non devi volere, devi prendere atto che esiste un insieme creato da Martino secondo certe modalità. Punto.
Solo POI si dimostra che $A=RR$

Ok?

Ok, però scusa. Come dice Martino:

Scrivere $A={mx : x in RR}$ è equivalente a scrivere le seguenti due cose.

1) Per ogni $a in A$ esiste $x in RR$ tale che $a=mx$.
2) Per ogni $x in RR$ si ha $mx in A$.

Equivalentemente,

$a in A$ se e solo se esiste $x in RR$ tale che $a=mx$.

La 1) non dice proprio quello che dicevo io? Fisso una a che voglio verificare se sta in A e se trovo che x esiste t.c mx=a sono a cavallo!

Mi sembra proprio quello che hai quotato del mio discorso questo. Se sbaglio non capisco perché?

[axpgn]

Sono considerazioni vere ma fatte DOPO la costruzione di $A$ non durante!
Tu dici "prendo un elemento $a$ di $A$" ma se $A$ non lo hai ancora costruito che cavolo prendi?
Prima costruisci l'insieme $A$, comprendi bene come è e poi ci fai sopra tutte le elucubrazioni che vuoi.

[sisterioso]

@axpgn: Ok così sono d'accordo in effetti. Resta quindi però da capire come si definisce quell'insieme da cui pesco gli elementi per la dimostrazione nel quote qui sotto.

Ricapitoliamo quello che ho capito dal tuo discorso.

Inizialmente io avevo capito che scrivere $A={mx:x∈R}$ inteso come:
1) Per ogni a∈A esiste x∈R tale che a=mx.
2) Per ogni x∈R si ha mx∈A.
Fosse la DEFINIZIONE di A. Mentre ora col tuo appunto mi rendo conto che forse è da leggersi come doppia inclusione e quindi uguaglianza tra due insiemi A e quello degli mx:
1) $A⊆{mx:x∈R}$
2) ${mx:x∈R}⊆A$
E quindi 1+2 ci dicono $A={mx:x∈R}$

Detto questo risolverei così il problema della definizione dell'insieme "{mx}" che voglio definire è l'insieme dei prodotti di tuttle x in R per m fisso reale: ${mx:x∈R}$ appunto.

la prima domanda che volevo porre è: è giusto questo discorso di doppia inclusione, oppure 1+2 sono da intendersi come DEFINIZIONE di A, cioè: $A:={mx:x∈R}$

Quando Martino voleva dimostrare $A⊆RR$

Prima inclusione: $A subseteq RR$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $a in A$ e dimostrare che $a in RR$. Siccome $a in A$, esiste $x in RR$ tale che $a=mx$ (perché gli elementi di $A$ sono di questo tipo). Essendo quindi $a$ un prodotto tra due numeri reali (perché anche $m in RR$), deduciamo che $a$ è un numero reale, cioè $a in RR$.

Lui prendeva un elemento $a$ di $A$ e quindi in virtù della: "$a∈A$ se e solo se esiste $x∈R$ tale che $a=mx$" la quale ci garantisce che $A={mx:x∈R}$ procedeva dimostrando che $A=RR$ PERO' dato che $A={mx:x∈R}$ allora ha in definitiva mostrato che ${mx:x∈R}=RR$ (per transitività).

A questo punto mi chiedo, seconda domanda che volevo porre: ma invece di prendere un elemento $A$ e far tutto questo giro, non potevo semplicemente dire:

Prima inclusione: ${mx:x∈R} subseteq RR$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $a in {mx:x∈R}$ e dimostrare che $a in RR$. Siccome $a in {mx:x∈R}$, sono gli elementi t.c per ogni $x in RR$ vale $a=mx$. Essendo quindi $a$ un prodotto tra due numeri reali (perché anche $m in RR$), deduciamo che $a$ è un numero reale, cioè $a in RR$.

Tutto questo discorso ti torna? Non so se intendevi queste cose e vorrei capire

[Martino]

Oddio che confusione: quando si scrive $A={mx : x in RR}$ questa è la definizione di $A$, si usa questa definizione per non dover scrivere ${mx : x in RR}$ mille volte. Quello che dice Alex è che nel momento in cui si scrive $A={mx : x in RR}$ questo insieme è definito e non cambia, è quello che è. Poi ti chiedi "ma non è che per caso $A=RR$?" e ti rispondi di sì e lo dimostri con le due inclusioni.