Dimostrazione algebrica semplicissima (tramite inverso del gruppo R)

[sisterioso]

Buongiorno, stavo leggendo una vecchia discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=230844 ma vorrei fare una domanda a riguardo sebbene davvero stupida ma che non capisco come risolvere.

Essendo $R$ quello che ho scoperto chiamarsi gruppo vuol dire che ci sono elementi inversi per ogni elemento.
Quindi se io prendo

$ax=y$ posso dire:
- qualunque sia x che ho scelto ho una rispettiva y, questo mi pare ovvio (se assumo l'operazione ben definita, che poi sarebbe un po' il discorso) l'eq. ci dice che ogni x ha una y $ax=y$.
- prendo una y qulunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!

Di questo secondo punto volevo porre due domande:
a) quanto ho detto può funzionare?

è (quasi) intuitivo che: dato m parametro, quando assumo $mx=y$ so che:
- per ogni x nei reali ho un y nei reali che rende vera $mx=y$
- d'altro canto vale l'opposto: per ogni y nei reali ho un x nei reali che rende vera $mx=y$

Si dimostra facilmente sapendo che i reali sono un gruppo e in quanto tale si gioca con l'inverso di m: $m^-1$ che esiste.

C'è però una parte che mi lascia incuriosito: io dimostro che per ogni x c'è un y e per ogni y c'è un x. Ma non dimostro che dato un qualunque x nei reali "copro" tutti i reali con la y.

Graficamente per spiegarmi meglio direi che: (intuitivamente) fissato m, percorrendo le x nei reali (cioè coprendo ogni valore di x) trovo valori in y ma in aggiunta vorrei dimostrare che i valori di y coprono di nuovo tutta la retta dei reali, ma questo come lo faccio?

Io con la dimostrazione mostro che: per ogni x vi è un y ma questo non vuol dire che scegliendo x differenti troverò in y di nuovo tutti i reali.
Con l'altra dimostrazione faccio notare che scegliendo ogni y nei reali ho degli x ma di nuovo non vuol dire che scegliendo varie y troverò di nuovo tutti i reali.
E anche mettendo assieme queste due considerazioni noto che non posso concludere che scegliendo tutti gli x nei reali ritrovo con y tramite $mx=y$ tutti i reali (cioè che y coincide con la retta reale).

Come si fa quindi a dimostrare questa proprietà? Che l'insieme dei reali di x coincide con l'insieme delle y trovate tramite quell'equazione?

[apatriarca]

Sai che l'immagine di \(f(x) = mx\) è tutto \(\mathbb R\) perché dato un valore qualsiasi \(y \in \mathbb R\) esiste un \(x = y/m\) per cui \(f(x) = y\) (secondo punto della dimostrazione). Se tu avessi una funzione non suriettiva (per esempio \(g(x) = \sqrt{|x|}\)), esisterebbero dei valori di \(y\) (per esempio \(-1\)) per cui non esistebbe alcun valore di \(x\) per cui \(g(x) = y\). La suriettività dell'inversa deriva invece dal primo punto e discussioni analoghe. Ovviamente tutto questo è valido solo per \(m \neq 0\).

[sisterioso]

Ti ringrazio ma avrei comunque due appunti che vorrei chiarire.
1)
quello che dici tu mi mostra in effetti che tutte le y nei reali hanno un x che le determina, però non mostra che per avere tutte le y posso percorrere tutte le y. Il tuo ragionamento mi dice solo che ci sono delle x che danno tutte le y. Ma io vorrei che tutte le y siano "generate" tramite non alcune ma TUTTE le x.


2)
Ma se volessi vederla in termini di gruppo senza scomodare le funzioni? Cioè dimostrare che per ogni x reale ho una y reale e che le ho anche tutte tramite tutte le x. Era questo che volevo chiedere.

In questo caso non capisco perché assumere tutte le x nei reali e mostrare che ho un y e viceversa assumere ora tutte le y reali e mostrare che mi danno un x mi faccia concludere che tutte le x dei reali "generano" tramite mx tutte le y nei reali.

Perché appunto si può giocare sull'inverso ma i due passi della dimostrazione (che ho ripostato nel I° post) non capisco perché mi porterebbero a dire che sia per x che y ho $RR$

[sisterioso]

Nessun ulteriore aiuto?

[Martino]

La tua domanda purtroppo è del tutto incomprensibile. Non si capisce proprio di cosa stai parlando, credimi.

io vorrei che tutte le y siano "generate" tramite non alcune ma TUTTE le x.

Cosa significa? Se intendi che l'insieme ${mx\ :\ x in RR}$ è uguale a $RR$ questo è vero (banalmente) dove ovviamente $m ne 0$. Era questo che volevi sapere? Suggerisco di smettere di spiegarti a parole e cominciare a spiegarti con le formule e il formalismo matematico. Secondo me, nel momento in cui scrivi il tuo dubbio in termini logici inequivocabili (non lo hai ancora fatto), il tuo dubbio si risolve da solo.

Il punto è questo: se $m$ è un reale diverso da $0$, la funzione $f:RR to RR$ definita da $f(x)=mx$ è biiettiva. Questo significa che
(a) per ogni $x in RR$ esiste un unico $y in RR$ tale che $f(x)=y$ e
(b) per ogni $y in RR$ esiste un unico $x in RR$ tale che $f(x)=y$.

[sisterioso]

Ciao, grazie per avermi risposto.

Era questo che volevi sapere?

Il mio problema è che mi accorgo come dici tu di non riuscire a rendere l'idea intuitiva in modo formale. L'idea è questa: sostituendo tutte le x reali nella $y=ax$ [nota¹] trovo y che sono di nuovo tutto l'insieme reale.
però vale anche il viceversa scambiando le x con y: scegliendo ogni y reale ritrovo varie x che saranno di nuovo tutto l'insieme R.
Però non saprei bene come rendere questa idea in formule (era il primo problema) che mi sembra risolto da quello che hai scritto tu in effetti.


Il (secondo problema) è che avevo letto questa dimostrazione, che è quello che vorrei fare cioè sfruttare la nozione di gruppo (senza scomodare la funzione, se possibile (?) ):
assimiamo la $ax=y$, ora posso mostrare che:
- qualunque sia x nei reali che ho scelto ho una rispettiva y che è ancora nei reali dato che $ax in RR$.
- prendo ora una y qualunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!

Ma questo dimostra in effetti quanto cercavo? Non mi sembra perché mi par solo di mostrare che prese tutte le x nei reali trovo sempre una y (ancora reale), ma questo non mostra che presa ogni x nei reali ottengo tramite y=ax ogni numero dell'insieme reale.
Se poi dimostro la seconda parte è come se dicessi: per ogni y reale trovo qualche x sempre reale, ma anche qui ma non ho mostrato un legame "biunivoco" tra x e y che è ciò che vorrei per dire che a ogni x reale trovo ogni y nei reali.
Volevo quindi capire se potessi usare questa argomentazione per mostrare il legame uno a uno per ogni x che ha una relativa y, o se dovessi per forza usare la nozione di funzione.

Fatico in effetti a formalizzare questo, se potessi aiutarmi ti ringrazierei moltissimo

---

Note

1. (uso "a" per coerenza con dopo) ↑

[Martino]

Se fissi $x$ allora scrivendo $y=ax$ ottieni una sola $y$. Non ottieni tutti i numeri reali, ne ottieni uno solo.

Per ottenerli tutti devi far variare la $x$.

Per esempio prendiamo $a=2$. In questo modo la nostra equazione è

$y=2x$

Se scegliamo $x=3$ allora abbiamo $y=6$ e come vedi abbiamo trovato un valore solo. Ora cambiamo $x$, scegliamo $x=5$ ottenendo $y=10$ ma anche qui, un valore solo.

Per ottenere tutti i numeri reali dobbiamo far variare la $x$ tra tutti i reali. Per esempio per ottenere $y=sqrt(3)$ dobbiamo scegliere $x=sqrt(3)/2$.

Se questo non aiuta, non so proprio come aiutarti. Spero che qualcuno ti possa aiutare

[sisterioso]

Sì, certamente. E' proprio questo che intendevo: la x deve variare ovviamente.
Però visto così è solo un modo empirico (cioè i tuoi sono esempi ma voglio generalizzarlo con una dim.), cioè ci accorgiamo che variando in tutte le x dei reali ritrovo con ax=y tutti i reali di nuovo... io volevo formalizzare questa intuizione e capire come dimostrare quello che hai detto tu, in buona sostanza.

Facendo lo sforzo di formalizzare che mi consigliavi di fare io direi che voglio mostrare come ${mx | x∈R}$ così come ${y/m | y∈R, m!=0}$ sono di nuovo tutti i reali (chiamiamoli (A) tali insiemi). Quindi una sorta di biunivocità: variando tutte le x nei reali ritrovo con y tutti i reali e viceversa sostituendo in y tutti i reali titrovo nelle x tutti i reali: ma come si dimostra?

La mia domanda era: posso in qualche modo mostrare questo fatto (quello che hai scritto tu nel tuo ultimo post) sfruttando il concetto di gruppo? Mi chiedevo se questa dimostrazione andasse bene per mostrare quanto voluto:

assimiamo la $ax=y$, ora posso mostrare che:
- qualunque sia x nei reali che ho scelto ho una rispettiva y che è ancora nei reali dato che $ax in RR$.
- prendo ora una y qualunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!
(?)

A me sembra non funzionare perché da una parte mostro solo che per ogni x nei reali trovo delle y che sono nei reali, e il viceversa. Ma non mostro il legame 1 a 1 tra tutti i reali del primo insieme con tutti i reali del secondo (A).

Il mio dubbio è quindi, per dimostrare quanto voglio devo per forza usare il concetto di funzione? ↓

(a) per ogni $x in RR$ esiste un unico $y in RR$ tale che $f(x)=y$ e
(b) per ogni $y in RR$ esiste un unico $x in RR$ tale che $f(x)=y$.

Ma anche questo non sembra del tutto dimostrare quanto abbiamo detto! Quindi come si fa?

Sono semplicemente questi i miei dubbi.

[axpgn]

Però visto così è solo un modo empirico

Ma non è vero ...

Cercando di capire i tuoi dubbi (e non è facile) a me sembra che tu non comprenda il concetto di "generalizzazione", se così posso dire.
Dato un dominio ovvero l'insieme a cui appartiene l'elemento da cui "partire" per "calcolare" la funzione, prendere un elemento $x$ del dominio NON significa prendere un elemento specifico ma uno qualsiasi e se riesco a dimostrare ciò che devo dimostrare SENZA usare un elemento specifico ALLORA ciò significa che l'ho dimostrato per TUTTI gli elementi del mio insieme.
Ti è chiaro questo? A me sembra di no ...

[Martino]

Facendo lo sforzo di formalizzare che mi consigliavi di fare io direi che voglio mostrare come ${mx | x∈R}$ così come ${y/m | y∈R, m!=0}$ sono di nuovo tutti i reali (chiamiamoli (A) tali insiemi). Quindi una sorta di biunivocità: variando tutte le x nei reali ritrovo con y tutti i reali e viceversa sostituendo in y tutti i reali titrovo nelle x tutti i reali: ma come si dimostra?

Prendiamo $A={mx\ :\ x in RR}$ dove $m ne 0$ è fissato. Ti dimostro che $A=RR$.

Per farlo dobbiamo dimostrare le due inclusioni, $A subseteq RR$ e $RR subseteq A$.

Prima inclusione: $A subseteq RR$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $a in A$ e dimostrare che $a in RR$. Siccome $a in A$, esiste $x in RR$ tale che $a=mx$ (perché gli elementi di $A$ sono di questo tipo). Essendo quindi $a$ un prodotto tra due numeri reali (perché anche $m in RR$), deduciamo che $a$ è un numero reale, cioè $a in RR$.

Seconda inclusione; $RR subseteq A$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $r in RR$ e dimostrare che $r in A$. Dobbiamo cioè mostrare che esiste $x in RR$ tale che $r=mx$. Ma per questo basta prendere $x=r/m$ (che ha senso perché $m ne 0$). Infatti con questa scelta di $x$ abbiamo $mx=m*r/m=r$.

Come vedi non ho usato il concetto di funzione nella dimostrazione.

È così che si dimostra che $A=RR$.