Martino ha scritto:Devo correggermi su quanto ho scritto sopra, di solito quando si dice che $W$ è invariante per $f$ si intende che $f(W)$ è
contenuto in $W$ (non necessariamente uguale), cioè $f(W) subseteq W$. Questo significa che, per ogni $w in W$, si ha $f(w) in W$. Vedi per esempio
qui (clic). Detto questo, in alcuni testi si dice che $W$ è invariante se (**) $f(W)=W$, e ho l'impressione che sia proprio quest'ultima la definizione data dal tuo professore, anche perché per dimostrare che $W$ invariante implica $W^(bot)$ invariante si deve usare la (**). In ogni caso, per favore vai alla fonte, rileggi la definizione di sottospazio invariante nel tuo testo.
pistacios ha scritto:il mio Prof chiama invariante la situazione da me esposta.
Ti sbagli, e ti dò 2 argomenti per dimostrarti che ti sbagli (spero che siano sufficienti).
1. Se $f:V to V$ è un endomorfismo dello spazio vettoriale $V$ e $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ allora $f(W)$ è un sottospazio vettoriale di $V$ (facile esercizio, prova a farlo). Quindi se davvero per te dire che $W$ è invariante significa dire che $f(W)$ è sottospazio di $V$ allora ogni sottospazio di $V$ è invariante e quindi la nozione di "invariante" perde totalmente di significato.
Sai che non ho capito bene perché dici questo, non ho capito dal mio discorso dove hai dedotto quelle considerazioni, a me sembrava di aver detto fin dall'inizio che $f(W)⊆W$ è la definizione di sottospazio invariante, in particolare f(W) è sottospazio di W
. Non ho davvero capito le tue obiezioni perché ho sempre detto la tua stessa cosa nei post prima. In che punto ho detto la stupidaggine?
Ok, ma il punto (1) non significa niente. Devi dire "per ogni $y in f(W^(bot))$ esiste $x in W^(bot)$ tale che $y=f(x)$.
Sì, qui mi sono mangiato delle parti, forse più correttamente era (e questo intendevo):
1) Per ogni $y$, $y$ in $f(W^⊥)$ => esiste $x in W^⊥$ t.c. $y=f(x)$
Fermati qui. Quello che stai dicendo nella parte sottolineata è che basta mostrare che $f(W^(bot))$ è contenuto in $W^(bot)$. Domanda: perché ti interessa mostrare che $f(W^(bot)) subseteq W^(bot)$? Risposta: perché questa è la definizione di sottospazio invariante (pensaci!).
Sì, esatto, al di fuori della incomprensione che dicevo qui a inizio messaggio è proprio quel che ho detto, devo dimostrare quello perché è la definizione di sottospazio invariante. perfetto!
Esplicitamente cioè devo dimostrare che per ogni $y in {f(x)|x in W^⊥}$ allora $f(x)=y in W^⊥$.
a) La dimostrazione del prof invece parte da
per ogni $x∈W^⊥$ e giunge a $f(x)∈W^⊥$.
che dici essere uguale a
b) prendiamo quindi un qualsiasi $y in f(W^(bot))$ e mostriamo che $y in W^(bot)$. Per (1)
esiste $x in W^(bot)$ tale che $y=f(x)$, e ora si prosegue normalmente.
E non riesco a capire bene perché sono uguali a e b.
Riprendo i due punti
$f(W^⊥):={f(x)|x in W^⊥}$ è per definizione
1)per ogni $y in f(W^(bot))$ esiste $x in W^(bot)$ tale che $y=f(x)$.
(+)
2) Per ogni $x in W^⊥$ => $y:=f(x) in f(W^⊥)$.
La differenza mi sembra di poterla individuare tra a) e b) per via dell'ipotesi di partenza:
a) dimostra come HP:
per ogni x in $W^⊥$ valga $f(x)=y in W^⊥$, mentre la b) ci dice che HP: per ogni y
esiste (un
qualche) $x in W^(bot)$ (per la 1 del quote)
Inoltre tornando al punto a) se noti noi diciamo solo che assumiamo per ipotesi che ogni $x in W^(bot)$ ma questa messa così non ci garantisce che abbiamo preso tutti gli elementi di $f(W^⊥)$, possiamo dire di averli presi Tutti solo se consideriamo la 2 (del quote).
Quindi mi verrebbe da scrivere in modo completo: per ogni $x in W^⊥$ so per la 2. che $y:=f(x) in f(W^⊥)$, inoltre per la 1. per ogni elemento di $f(W^⊥)$ ho una $x in W^⊥$ tale che y=f(x) (solo a questo punto ho equiparato a) e b)) quindi è vero a questo punto che assumendo una x qualsiasi so che è collegato biunivocamente un elemento y di $f(W^⊥)$, e quell'elemento di y dimostro che appartiene a sua volta a $W^⊥$ (che è l'inclusione). Solo così ho mostrato che
per ogni $y in {f(x)|x in W^⊥}$ => $y in W^⊥$, procedere unicamente come fa in a) che per HP assume tutte le x in W ortogonale, non mi sembra dimostrare una appartenenza di $y$ a $W^⊥$, perché a priori mica so che ho preso tutte le $y in {f(x)|x in W^⊥}$ con la scelta di tutte le x in W ortogonale. Non so se mi spiego.
In questo il dubbio è davvero simile:
Di nuovo, faccio moltissima fatica a capire di cosa stai parlando. Per dimostrare che $A$ è contenuto in $RR$ si prende un qualsiasi $a in A$ e si dimostra che $a in RR$. Tu dici "eh ma così non sto usando (1)", e quindi? Non sei obbligato a usare (1), non sei obbligato a usare niente, devi solo dimostrare un fatto usando delle cose di cui sei a conoscenza. Se riesci a dimostrarlo senza usare (1) tanto meglio.
Qui noi abbiamo ={mx : x∈R}:
1) Per ogni a∈A esiste x∈R tale che a=mx.
2) Per ogni x∈R si ha mx∈A.
Il punto che mi confonde è questo: come dicevate all'inizio si vuole dimostrare che assumendo $a=mx$ ponendo al posto di x tutti gli elementi nei reali trovo varie a che sono nuovamente dei reali, ma non solo sono alcuni reali, sostituendo tutti i numeri reali in x trovo tutti i reali come "output" su a. Questo è il concetto di retta passante per l'origine: sostituendo in x l'insieme reale (le ascisse) trovo con mx l'insieme "retta passante per l'origine", che è ancora tutto l'insieme reale. (la retta delle ascisse e la retta a=mx sono l'insieme reale entrambe).
Come si dimostra questo? Per farlo suggerivi che si deve mostrare che assunto $A={mx : x∈R}$ si conclude che $A=R$.
Si comincia con A⊆R.
Però come io ho anticipato vorrei che OGNI x nei reali per cui scrivo $mx$ ho un elemento di A.
Mentre nella dimostrazione proposta per A⊆R noi sfruttiamo 1) e diciamo: prendiamo ogni $a∈A$, da cui
esiste $x∈R$ tale che $a=mx$, ecco, noi sfruttiamo l'"esiste un x", ma facendo così potrei obiettare che per trovare ogni elemento a, ossia la retta a=mx, mi bastano solo alcune x reali (non tutti i reali, ho detto che esistono
alcuni reali per tutte le $a$) mentre so che servono tutti i reali che andrò a sostituire nella x di $mx$ per avere tutta la retta $a=mx$. Ci inserisco tutte le x reali! Se io invece per ipotesi prendo tutti gli elementi a di A e sfrutto 1) io asserisco che per ogni elemento di A trovo
alcuni reali x per cui vale bla bla... ma così facendo mostro solo che bastano a
lcune ascisse x per avere tutte le a(=mx).
In definitiva col tuo metodo mostro che A⊆R, e questo è sacrosanto, però con questa dimostrazione non so se ogni $x$ sostituita in $mx$ mi darà un $a$ elemento di A, questo in realtà sappiamo che è vero solo e unicamente per via del punto 2) che ci garantisce che per ogni x∈R si ha mx∈A. E a me sembra giusto dover specificare questo passaggio logico, perché io voglio provare che non solo c'è quell'appartenenza di ogni elemento a di A che sta anche in R, bensì vorrei altresì che quell'inclusione sia data assumendo che per ogni x nei reali allora mx sarà elemento di A. E questo si può sapere solo dal punto 2)
Ho ripetuto più volte lo stesso concetto in modi diversi sperando che uno sia più comprensibile dell'altro.
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