Non so moltissimo di logica e teoria degli insiemi! Pertanto vorrei chiedere se qualcuno qui potrebbe spiegarmi/o aggiungere parole/correggermi se sbaglio a quanto segue:
L'"insieme complementare" è un oggetto ben definito nella teoria assiomatica degli insiemi?
Se definiamo l'universo \( U= \{ x : x = x \} \) e l'insieme vuoto \( \emptyset = \{ x : x \neq x \} \) allora abbiamo che \( \emptyset \) è un insieme mentre \(U\) è una classe propria (ovvero è una classe che non è un insieme). A questo punto il complemento di \( \emptyset \) cos'è ? Direi che è \(U\) che non è un insieme, ma è possibile prendere il complemento di una classe propria?
Può il complemento di un insieme esistere? Dato un qualunque insieme \( a \) assumiamo l'esistenza del insieme complementare \(a^c = \{ x : x \not\in a \} \) allora \( U = a \cup a^{c} \) è un insieme (credo, magari non necessariamente). Ma è risaputo che l'universo è una classe propria, ovvero non è un insieme! Contraddizione!
E' giusto dire che l'insieme complementare non esiste oppure è corretto dire che il complementare di un insieme è una classe propria? Cioè nulla mi vieta di definire la classe \( \{x : x \not\in a \} \) dove \(a\) è un insieme! Mi sorge spontanea la domanda: E' vero che \( a \) è un insieme se e solo se \(a^{c} \) è una classe propria?