Esiste l'insieme complementare?

[3m0o]

Non so moltissimo di logica e teoria degli insiemi! Pertanto vorrei chiedere se qualcuno qui potrebbe spiegarmi/o aggiungere parole/correggermi se sbaglio a quanto segue:

L'"insieme complementare" è un oggetto ben definito nella teoria assiomatica degli insiemi?
Se definiamo l'universo \( U= \{ x : x = x \} \) e l'insieme vuoto \( \emptyset = \{ x : x \neq x \} \) allora abbiamo che \( \emptyset \) è un insieme mentre \(U\) è una classe propria (ovvero è una classe che non è un insieme). A questo punto il complemento di \( \emptyset \) cos'è ? Direi che è \(U\) che non è un insieme, ma è possibile prendere il complemento di una classe propria?

Può il complemento di un insieme esistere? Dato un qualunque insieme \( a \) assumiamo l'esistenza del insieme complementare \(a^c = \{ x : x \not\in a \} \) allora \( U = a \cup a^{c} \) è un insieme (credo, magari non necessariamente). Ma è risaputo che l'universo è una classe propria, ovvero non è un insieme! Contraddizione!

E' giusto dire che l'insieme complementare non esiste oppure è corretto dire che il complementare di un insieme è una classe propria? Cioè nulla mi vieta di definire la classe \( \{x : x \not\in a \} \) dove \(a\) è un insieme! Mi sorge spontanea la domanda: E' vero che \( a \) è un insieme se e solo se \(a^{c} \) è una classe propria?

[megas_archon]

L'idea intuitiva dietro le classi è che esse hanno tutte le proprietà di un insieme, a parte quella di essere misurate da un numero cardinale. Vedi, ad esempio, qui https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+classes

La definizione di complementare, poi, si può dare in un modello specifico: puoi fissare un universo di Grothendieck $U$ (che è un insieme, ma ha un cardinale inaccessibile), e definire il complementare proprio come stai facendo tu. Allora, \(a^c\) è una classe propria.

Il fatto è che questa definizione non è esattamente maneggevole proprio perché il complementare di un insieme "illimitato" è sempre una classe. Invece, quello che è un insieme è il complementare rispetto a un insieme ambiente fissato.

[3m0o]

Ti ringrazio! Hai anche una referenza da consigliarmi per approfondire?

[megas_archon]

Elliot Mendelson, An Introduction to Mathematical Logic, fifth ed., CRC Press, Boca Raton (2010); capitolo 4.