Doppia inclusione e matrici simmetriche antisimmetriche

[pistacios]

Ciao alla sezione.
scrivo qui perché c'è un fatto che mi lascia perplesso e per cui non trovo una ragione del perché funzioni.

Posso dimostrare che il sottospazio delle matrici simmetriche (S) e antisimmetriche (A) sono in somma diretta (quindi posso scrivere ogni matrice M in modo unico come somma di una matrice antisimmetrica e una simmetrica) e in particolare sottospazi supplementari di un $R^(n,n)$

Dimostrare che $S+A=R^(n,n)$ è facile per doppia inclusione:
ogni elemento di $R^(n,n)$ che chiamo M posso scriverlo come $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ ed è facile vedere che sono somma di un elemento di S e uno di A prima inclusione.
La seconda inclusione è ovvia poiché $A+S$ è sottoinsieme di $R^(n,n)$.

E' quindi palese che ogni elemento di $R^(n,n)$ posso scriverlo come somma di simmetrica e antisimmetrica.
E, di contro, ogni elemento A+S è ovviamente contenuto in $R^(n,n)$, infatti la somma delle due matrici è perfettamente una matrice di Rnn.

nessun problema... finché uno non nota che se la doppia inclusione è davvero un uguaglianza allora questo garantisce anche una scrittura unica per qualunque elemento simmetrico e antisimmetrico io vada a sommare.

Mi spiego:
Assumiamo per comodità $R^(2,2)$

Prendo le matrici antisimmetrica: $((0,-1),(1,0))$ e $((3,2),(2,7))$ per la seconda delle inclusioni viste è evidente che sommandole avrò una matrice di $R^(n,n)$ infatti: $((0,-1),(1,0))$+$((3,2),(2,7))$=$((3,1),(3,7))$
Nulla di strano, ma qui viene il bello: se la doppia inclusione fosse davvero una uguaglianza come riprova dovrei avere che $((3,1),(3,7))$ potrò scomporla come $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ questo perché la scrittura è unica e quindi se ogni M è così scrivibile, la somma delle due matrici essendo una M di $R^(n,n)$ si dovrà scrivere in questo modo. E infatti provandoci: $((M+M^t)=((6,4),(4,14))$ e $((M-M^t))=((0,-2),(2,0))$.

Questo ci mostra con questo esempio che in effetti quello che la doppia inclusione fa è di avere effettivamente due insiemi identici quando si verifica. Ma a me questa cosa lascia davvero stupefatto.
La mia domanda è quindi: ma perché quella doppia inclusione che è appunto per "definizione" una uguaglianza di insiemi è davvero una uguaglianza di insiemi come mi aspetterei? Cioè la doppia inclusione garantisce che A+S=Rnn infatti mantiene la struttura di poter scrivere ogni A+S come $A=1/2(A+A^t)+1/2(A-A^t)$ e questo può avvenire solo se A+S ed Rnn sono a tutti gli effetti davvero lo stesso spazio.

In buona sostanza è come se

[pistacios]

Purtroppo ieri era andato in moderazione e non ho potuto correggere alcune cose e ho dovuto attendere la verifica, volevo sommariamente riprendere il discorso che forse non era chiarissimo rileggendolo a posteriori.

Volevo rendere più chiaro il dubbio riprendendolo sommariamente nel seguito.
La mia idea è pressoché questa..
Io mostro che preso un qualunque $M in R^(n,n)$ ha la forma $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ quindi questo mostra che stà in $A+S$. Però non è ancora detto che ogni elemento di $A+S$ sia di questo tipo $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$.

E infatti per l'altra inclusione posso prendere due matrici qualunque $M'$ ed $M''$ simmetrica e antisimmetrica e mostrare che stà in $R^(n,n)$.

Finora non abbiamo la certezza che ogni elemento di $A+S$ sia del tipo $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$, infatti ho preso M' ed M'' qualunque.
Ma qui viene il bello, se con la doppia inclusione ho che $A+S=R^(n,n)$ (questa mi viene data però come definizione, cioè come fatto vero senza dimostrazione) allora ogni elemento di $R^(n,n)$ si dovrà proprio scrivere come $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ perché sono uguali i due spazi quindi gli elementi in effetti coincidono e avranno la proprietà di scrittura unica.
E in effetti è proprio così qualunque M' ed M'' scelga in $R^(n,n)$ (come nell'esempio del post precedente avevo scelto $((0,-1),(1,0))$ e $((3,2),(2,7))$) io posso sempre trovare una scrittura $((M+M^t)=((6,4),(4,14))$ e $((M-M^t))=((0,-2),(2,0))$ e questo riprova che definire la doppia inclusione: $A+S⊆R^(n,n)$ e $R^(n,n)⊆A+S$ è proprio un "=" perché sono di fronte davvero allo stesso spazio.

Ma questa cosa mi fa strano perché in realtà non è una dimostrazione che la doppia inclusione sia una uguaglianza si insiemi, io prendo per buono che sia una uguaglianza e poi noto che è vero perché permette il mantenimento della proprietà "scrittura unica" dello spazio somma diretta.
Però cosa renda vero che una cosa che si vede intuitivamente, la doppia inclusione appunto come uguaglianza, sia vero sempre per ogni proprietà degli insiemi non dovrebbe essere dimostrata?

Non riesco a capire quindi perché questa cosa funzioni così bene.

[megas_archon]

Stai prendendo uno spazio vettoriale $V$, una sua decomposizione in somma diretta \(V_s\oplus V_a\), e le proiezioni \(\pi_s : V\to V_s, \pi_a : V\to V_a\).

Poi stai prendendo un vettore di $V$; data la decomposizione di prima, puoi scriverlo come \(v = \pi_s(v)+\pi_a(v)\). Del resto ci possono essere tanti altri modi di scriverlo come una somma del genere, tanti quanti sono le rispettive basi di \(V_a\) e di \(V_s\): capisci bene che non c'è nessuna contraddizione e nessun fatto controintuitivo in questo. E' semplicemente la maniera in cui l'algebra lineare funziona.

[pistacios]

Sì certo ma quello mi è chiaro, il fatto che non mi era chiaro è che tutto ciò sia coerente con la doppia inclusione vista come uguaglianza. Cioè che tutti quei ragionamenti sono anche compatibili con una cosa che dò per corretta per "definizione", cioè dico due insiemi sono uguali se uno è contenuto nell'altro e viceversa. Ok, bella roba, ma questo per ora è solo un imposizione che prendo per vera.
Il fatto che io dimostri la doppia inclusione e quindi che $A+S=R^(n,n)$ mi fa concludere che ogni elemento dell'insieme avrà quella scrittura unica, ma io lo deduco dall'uguaglianza e non da fatti algebrici.

Poi dal mio discorso prendo in effetti

Finora non abbiamo la certezza che ogni elemento di $A+S$ sia del tipo $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$, infatti ho preso M' ed M'' qualunque.
Ma qui viene il bello, se con la doppia inclusione ho che $A+S=R^(n,n)$ (questa mi viene data però come definizione, cioè come fatto vero senza dimostrazione) allora ogni elemento di $R^(n,n)$ si dovrà proprio scrivere come $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ perché sono uguali i due spazi quindi gli elementi in effetti coincidono e avranno la proprietà di scrittura unica.
E in effetti è proprio così qualunque M' ed M'' scelga in $R^(n,n)$ (come nell'esempio del post precedente avevo scelto $((0,-1),(1,0))$ e $((3,2),(2,7))$) io posso sempre trovare una scrittura $(M+M^t)=((6,4),(4,14))$ e $(M-M^t)=((0,-2),(2,0))$ e questo riprova che definire la doppia inclusione: $A+S⊆R^(n,n)$ e $R^(n,n)⊆A+S$ è proprio un "=" perché sono di fronte davvero allo stesso spazio (come si vede ha la stessa proprietà).

Ma questa cosa mi fa strano perché in realtà non è una dimostrazione che la doppia inclusione sia una uguaglianza si insiemi, io prendo per buono che sia una uguaglianza e poi noto che è vero perché permette il mantenimento della proprietà "scrittura unica" dello spazio somma diretta.
Però cosa renda vero che una cosa che si vede intuitivamente, la doppia inclusione appunto come uguaglianza, sia vero sempre per ogni proprietà degli insiemi non dovrebbe essere dimostrata?

E mi accorgo che è coerente e quindi mi chiedo. Cosa mi garantisce che, dimostrando $A+S⊆R^(n,n)$ e $R^(n,n)⊆A+S$ che tutto ciò torni?

[megas_archon]

Penso di non capire qual è il tuo problema.

[pistacios]

Ah forse che scemo ho capito solo ora, ma vorrei chiederti se è corretto, vediamo:

Rn,n⊆A+S) Io mostro che preso un qualunque $M in R^(n,n)$ ha la forma $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ (*) quindi questo mostra che Rnn stà in $A+S$

Viceversa
A+S⊆Rn,n) questo in effetti a priori non ci dice che scelte M ed M'' nei rispettivi A e S si possano giungere alla scrittura $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$.

Tuttavia se dimostro che A+S⊆Rn,n ho che M+M'' sta in $R^(n,n)$, ma nella prima inclusione ho dimostrato che ogni elemento di Rnn ha quel tipo di scrittura (*) e quindi sono a cavallo perché è intrinseco nella doppia inclusione che avrò proprio quel tipo di scrittura.

Mi sembra che funzioni così, però vorrei essere certo.

[pistacios]

@megas_archon: c'è stata una sovrapposiziane di post. Con il mio precedente e il tuo prima. Provo a risolvere quanto mi hai detto.

Penso di non capire qual è il tuo problema.

Ok allora perdonami se sono stato poco chiaro. Vedo se riesco a spiegarmi meglio su quale fosse il dubbio:

Io partivo mostrando Rn,n⊆A+S, quindi preso un qualunque $M in R^(n,n)$ lo scrivo facilmente come $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ (*) quindi questo mostra che Rnn stà in $A+S$

Fatto ciò dicevo, siccome possiamo anche mostrare A+S⊆Rn,n per definizione (insiemistica) A+S=Rn,n

A questo punto facevo il seguente ragionamento: se sono lo stesso insieme va da sé che presa $M' in A$ ed $M'' in S$ e sommate M+M' dato che elemento di Rn,n come di A+S che sono lo stesso insieme esisterà una M che mi permetta di riscrivere M+M'=M come $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$.

Però tutto questo ragionamento è bastato solo su una definizione di "uguaglianza insiemistica" data per "buona" cioè come DEFINIZIONE. E mi shoccava il fatto che quella uguaglianza che era solo una definizione funzioansse.

Ifatti prendevo: $M'=((0,-1),(1,0))$ e $M''=((3,2),(2,7))$ sommate ho $((3,2),(2,7))$ che è uguale a:
$((3,2),(2,7))=1/2((6,4),(4,14))+1/2((0,-2),(-2,0))$
con $(M+M^t)=((6,4),(4,14))$ e $(M-M^t)=((0,-2),(2,0))$

Tuttavia non mi ero accorto che quando mostro la seconda inclusione A+S⊆Rn,n io sto di fatto dicendo che ogni elemento di A+S sta in Rn,n e quindi se per la prima inclusione ogni elemento di Rn,n posso scriverlo nella forma $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ beh non è così strabiliante che l'uguaglianza tra insiemi preservi quel tipo di scrittura. Perché è insito nella dimostrazione di doppia inclusione svolta.

Non so, mi sembra funzionare ora. Spero sia più chiaro