Ciao alla sezione.
scrivo qui perché c'è un fatto che mi lascia perplesso e per cui non trovo una ragione del perché funzioni.
Posso dimostrare che il sottospazio delle matrici simmetriche (S) e antisimmetriche (A) sono in somma diretta (quindi posso scrivere ogni matrice M in modo unico come somma di una matrice antisimmetrica e una simmetrica) e in particolare sottospazi supplementari di un $R^(n,n)$
Dimostrare che $S+A=R^(n,n)$ è facile per doppia inclusione:
ogni elemento di $R^(n,n)$ che chiamo M posso scriverlo come $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ ed è facile vedere che sono somma di un elemento di S e uno di A prima inclusione.
La seconda inclusione è ovvia poiché $A+S$ è sottoinsieme di $R^(n,n)$.
E' quindi palese che ogni elemento di $R^(n,n)$ posso scriverlo come somma di simmetrica e antisimmetrica.
E, di contro, ogni elemento A+S è ovviamente contenuto in $R^(n,n)$, infatti la somma delle due matrici è perfettamente una matrice di Rnn.
nessun problema... finché uno non nota che se la doppia inclusione è davvero un uguaglianza allora questo garantisce anche una scrittura unica per qualunque elemento simmetrico e antisimmetrico io vada a sommare.
Mi spiego:
Assumiamo per comodità $R^(2,2)$
Prendo le matrici antisimmetrica: $((0,-1),(1,0))$ e $((3,2),(2,7))$ per la seconda delle inclusioni viste è evidente che sommandole avrò una matrice di $R^(n,n)$ infatti: $((0,-1),(1,0))$+$((3,2),(2,7))$=$((3,1),(3,7))$
Nulla di strano, ma qui viene il bello: se la doppia inclusione fosse davvero una uguaglianza come riprova dovrei avere che $((3,1),(3,7))$ potrò scomporla come $M=1/2(M+M^t)+1/2(M-M^t)$ questo perché la scrittura è unica e quindi se ogni M è così scrivibile, la somma delle due matrici essendo una M di $R^(n,n)$ si dovrà scrivere in questo modo. E infatti provandoci: $((M+M^t)=((6,4),(4,14))$ e $((M-M^t))=((0,-2),(2,0))$.
Questo ci mostra con questo esempio che in effetti quello che la doppia inclusione fa è di avere effettivamente due insiemi identici quando si verifica. Ma a me questa cosa lascia davvero stupefatto.
La mia domanda è quindi: ma perché quella doppia inclusione che è appunto per "definizione" una uguaglianza di insiemi è davvero una uguaglianza di insiemi come mi aspetterei? Cioè la doppia inclusione garantisce che A+S=Rnn infatti mantiene la struttura di poter scrivere ogni A+S come $A=1/2(A+A^t)+1/2(A-A^t)$ e questo può avvenire solo se A+S ed Rnn sono a tutti gli effetti davvero lo stesso spazio.
In buona sostanza è come se