teorema fondamentale dell'algebra

[Valerio Capraro]

dimostrare l'equivalenza delle due seguenti formulazioni del TFA

1) ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ammette almeno una radice in C

2) ogni polinomio di grado n a coefficienti in C ammette esattamente n radici, purchè contate con la propria molteplicità.

ciao, ubermensch

[Valerio Capraro]

allora mi rispondo da solo.

2 implica 1: ovvia

1 implica 2: per induzione su n (grado del polinomio)

n=1: ovvia in quanto ogni polinomio lineare a coefficienti in C ammette uno zero in C.

supposta la tesi vera per n, un polinomio di grado n+1 ammette uno zero in C per la 1; sia a tale zero, allora per Ruffini P = (x-a)Q, essendo P il polinomio di grado n+1 di partenza e Q un opportuno polinomio che avrà grado n; ora, gli zeri di P rimanenti sono tutti e soli gli zeri di Q, il quale, per ipotesi induttiva ne ha esattamente n, purchè contati con la propria molteplicità; aggiungendo a questi zeri, lo zero "a", si ottiene che P ha esattamente n+1 zeri, purchè contati con la propria molteplicità.

ciao, ubermensch