Estensione di campo

[Martino]

Ma è facile dedurre infinite relazioni asimmetriche, per esempio nel caso di $x_1=i$, $x_2=-i$ abbiamo $x_1^2+2x_2^2=-3$ oppure $x_1^3 x_2 = -1$. In generale si possono generare infinite relazioni tra le radici, di queste ce ne saranno infinite simmetriche e infinite asimmetriche.

Non si capisce cosa stai chiedendo.

[megas_archon]

L'unica maniera in cui le radici di un polinomio non soddisfano alcuna altra relazione polinomiale a parte quelle imposte dai polinomi simmetrici elementari è quando una di loro è trascendente. Del resto questo non può succedere... Probabilmente però anche io non ho capito la domanda

[hydro]

Probabilmente però anche io non ho capito la domanda

Neanche OP credo.

[megas_archon]

Vabbè ma ormai ce lo teniamo come animalcolo domestico, le stesse domande da anni, domande che più spesso che altro sono puro grammelot, e sempre la solita reazione alla sempre solita risposta... Speriamo che prima o poi serva!

[Martino]

Sia $Q$ il campo dei razionali, sia $E=Q(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$ un estensione di campo, in cui le uniche relazioni a valori nel campo base $Q$ siano le relazioni simmetriche in $x_1,x_2,..,x_n$ allora $E$ risulta essere il campo di spezzamento del polinomio $p(x)=(x-x_1)•(x-x_2)•.......•(x-x_n)$?

Comunque a parte il discorso sulle uniche relazioni (che rimane incomprensibile), mi sembra strano chiedere se $E$ (che è generato dalle radici per definizione) è campo di spezzamento di $P(x) = (x-x_1) ... (x-x_n)$. Cioè, $E$ è campo di spezzamento di $P(x)$ praticamente per definizione.

In altre parole, è stranissimo prendere il campo generato dalle radici e chiedersi se è generato dalle radici.

Ora, il problema è che non ha senso dire che $E$ è il campo di spezzamento e basta, bisogna dire su quale campo. La scelta ovvia è che prendiamo $F$ = il campo generato dai coefficienti di $P(x)$ e ci chiediamo se $E$ è campo di spezzamento di $P(x)$ su $F$. Ma questo è ovviamente vero perché $E$ è generato dalle radici su $QQ$, e quindi anche su $F$. Tutt'altra questione è chiedersi se $F=QQ$, e la risposta dipende dalle radici. In ogni caso, è ovvio che le radici sono elementi algebrici su $F$.

[francicko]

Scusa ma il gruppo di galois di in polinomio di $2°$ a coefficienti nei razionalinon è il gruppo identico od $S_2$?
Il polinomio $x^2+1$ che ha radici $i$ ed $-i$ il cui campo di spezzamento $Q(i)$ non ha due automorfismi che mantengono fisso $Q$, l'identico ed $phi$ con $phi(i)=-i, phi(-i)=i$ e quindi come gruppo di galois $S_2$ ?
Non deve risultare $(phi(x_1))^2+2(phi(x_2))^2=phi(-3)=-3$ ed $(phi(x_1))^3phi(x_2)=phi(-1)=-1$?

[Martino]

Sì ma non capisco cosa vuoi dire con questo. Come vedi ci sono relazioni asimmetriche soddisfatte dalle radici (quindi le relazioni soddisfatte non sono solo quelle simmetriche).

[Martino]

Ah ho capito cosa stai chiedendo. Quando dici "relazioni simmetriche" le intendi simmetriche con le radici già sostituite. Cioè una relazione polinomiale tra le radici la chiami simmetrica se è invariante rispetto a qualsiasi permutazione delle radici (non delle variabili). E la tua domanda non è "$E$ è campo di spezzamento?", la tua domanda è "il gruppo di Galois è isomorfo a $S_n$?".

Stai chiedendo la cosa seguente. Se ho $P(x) in QQ[x]$, $r_1,...,r_n$ le sue radici, e $sigma in S_n$ tale che per ogni $f(x_1,...,x_n) in QQ[x_1,...,x_n]$ tale che $f(r_1,...,r_n)=0$ si ha $f(r_(sigma(1)),...,r_(sigma(n)))=0$ allora è vero che $sigma$ si estende a un elemento del gruppo di Galois? E viceversa, è vero che ogni elemento del gruppo di Galois induce una permutazione delle radici che soddisfa quanto sopra per ogni $f$?

In altre parole la tua domanda è: "le permutazioni delle radici che inducono elementi del gruppo di Galois sono esattamente quelle che preservano ogni relazione polinomiale tra le radici?"

La risposta è sì, vedi per esempio qui.

Comunque ripeto che la tua formulazione della domanda nel post di apertura non è comprensibile. Solo adesso ho capito che cosa volevi dire.

[megas_archon]

Io invece credo che la domanda di OP sia questa: considera un polinomio a coefficienti razionali; le sue radici soddisfano [nel suo campo di spezzamento] le relazioni di Viète. E' possibile che le radici soddisfino unicamente quelle relazioni?

A questo punto OP è (come al solito) molto confuso e cerca di colpirsi da solo, perché il fatto stesso di aver supposto che le radici di $p$ esistano significa che esiste un altra relazione, che non è nessuna delle relazioni di Viète, soddisfatta da queste ultime.

A questo punto uno può domandarsi: bene, consideriamo allora $p$, il suo campo di spezzamento, le radici \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) in esso, e le relazioni di Viète insieme alla relazione $p(\alpha_i)=0$; è possibile che non esistano altre relazioni soddisfatte dalle radici? La risposta è no, ovviamente, ma apparentemente non riusciamo a convincere OP...