Estensione di campo

[francicko]

Sia $Q$ il campo dei razionali, sia $E=Q(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$ un estensione di campo, in cui le uniche relazioni a valori nel campo base $Q$ siano le relazioni simmetriche in $x_1,x_2,..,x_n$ allora $E$ risulta essere il campo di spezzamento del polinomio $p(x)=(x-x_1)•(x-x_2)•.......•(x-x_n)$?

[Cannelloni]

Non capisco cosa significa la frase in cui le uniche relazioni a valori nel campo base $Q$ siano le relazioni simmetriche

[francicko]

Con relazioni simmetriche elementari tra le radici a valori in $Q$ intendo le razioni di Viete', che ad esempio nel caso di un polinomio di $2°$ risultano $x_1•x_2=a_1$ ed $x_2+x_2=a_2$ dove $a_1$ ed $a_2$ sono i coefficienti del polinomio $a_1+a_2x+x^2$.
Se $E$ è il campo di spezzamento del polinomio generico $p(x)$ a coefficienti in $Q$, ed le uniche relazioni tra le radici a valori in $Q$ sono le relazioni simmetriche elementari, allora il gruppo di galois di tale polinomio è $S_n$ , cioè il gruppo simmetrico, e risulta $[E:Q]=n!$ . È falso?

[hydro]

Ma cos'hai contro l'uso della notazione universalmente riconosciuta di $\mathbb Q$ e non $Q$ per il campo dei razionali??

[francicko]

Ok $\mathbb Q$ !
È falso quanto ho affermato nel post precedente sopra?

[hydro]

Ok $\mathbb Q$ !
È falso quanto ho affermato nel post precedente sopra?

E' vero perchè la condizione non è mai verificata.

[francicko]

Che significa è vero perché la condizione non è mai verificata?

[Martino]

Non riesco a capire la domanda, è ovvio che le relazioni di cui parli non saranno mai le uniche possibili perché ce ne sono un'infinità che possono essere dedotte da queste. Per esempio nel caso di $X^2+1$, con $x_1=i$ e $x_2=-i$, abbiamo le relazioni $x_1x_2=1$ e $x_1+x_2=0$ ma anche $x_1^2+x_2^2=-2$ oppure $x_1^3+x_2^3=0$, eccetera.

[hydro]

Che significa è vero perché la condizione non è mai verificata?

Falso implica vero è vero.

[francicko]

Non riesco a capire la domanda, è ovvio che le relazioni di cui parli non saranno mai le uniche possibili perché ce ne sono un'infinità che possono essere dedotte da queste.

Ok! Infatti dal teorema sulle funzioni simmetriche si deduce che ogni polinomio simmetrico è esprimibile come somma e prodotto dei polinomi simmetrici elementari . Riformulo la domanda se nel campo di spezzamento abbiamo solo funzioni simmetriche delle radici allora il gruppo di Galois risulta essere $S_n$?