Ah ho capito cosa stai chiedendo. Quando dici "relazioni simmetriche" le intendi simmetriche con le radici già sostituite. Cioè una relazione polinomiale tra le radici la chiami simmetrica se è invariante rispetto a qualsiasi permutazione delle radici (non delle variabili). E la tua domanda non è "$E$ è campo di spezzamento?", la tua domanda è "il gruppo di Galois è isomorfo a $S_n$?".
Stai chiedendo la cosa seguente. Se ho $P(x) in QQ[x]$, $r_1,...,r_n$ le sue radici, e $sigma in S_n$ tale che per ogni $f(x_1,...,x_n) in QQ[x_1,...,x_n]$ tale che $f(r_1,...,r_n)=0$ si ha $f(r_(sigma(1)),...,r_(sigma(n)))=0$ allora è vero che $sigma$ si estende a un elemento del gruppo di Galois? E viceversa, è vero che ogni elemento del gruppo di Galois induce una permutazione delle radici che soddisfa quanto sopra per ogni $f$?
In altre parole la tua domanda è: "le permutazioni delle radici che inducono elementi del gruppo di Galois sono esattamente quelle che preservano ogni relazione polinomiale tra le radici?"
La risposta è sì, vedi per esempio
qui.
Comunque ripeto che la tua formulazione della domanda nel post di apertura non è comprensibile. Solo adesso ho capito che cosa volevi dire.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.