Ciclicità di $(\mathbb Z//p\mathbb Z)^\times$

[luca69]

Buongiorno,

molte delle prove della ciclicità di $(\mathbb Z//p\mathbb Z)^\times$ ($p$ primo), riassunte in questa famosa survey, utilizzano il lemma che l'equazione \(x^d\equiv 1\pmod p\) ha al più $d$ soluzioni. Questo mi ha fatto pensare a quest'altra possibilità d'impiego dello stesso lemma, per dimostrare il risultato in questione: detto $q$ un altro primo, $(\mathbb Z//p\mathbb Z)^\times$ non può contenere un sottogruppo isomorfo a $C_q\times C_q$, perchè ciò implicherebbe che l'equazione \(x^q\equiv 1\pmod p\) ha almeno $q^2$ soluzioni nel campo $\mathbb Z//p\mathbb Z$, contraddicendo il lemma. Poiché un $G$ finito abeliano non ciclico ha un sottogruppo isomorfo a $C_q\times C_q$, l'assenza di un tale sottogruppo in $(\mathbb Z//p\mathbb Z)^\times$ (che è finito abeliano) comporta che quest'ultimo è ciclico.

Prendendo per ora per buono il fatto nell'ultima frase (da dimostrare), la mia domanda è se è corretto l'impiego del lemma come più sopra.

[hydro]

E' giusto ma stai implicitamente usando il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti, che è un risultato molto più complesso da dimostrare della ciclicità di $\mathbb F_p^{\times}$.

[luca69]

Chiaro, ti ringrazio.