Risolubilità di gruppi

[Cannelloni]

Salve a tutti, ho due esercizi che non riesco a fare e secondo me sono molto interessanti

1) Dimostrare che tutti i gruppi di ordine MINORE di 60 sono risolubili
2) Sia $T<\text{GL}(n,K)$ il sottogruppo delle matrici triangolari superiori a coefficienti in un campo $K$; mostrare che $T$ è risolubile.

La definizione di gruppo risolubile è abbastanza conosciuta, ma vi metto il link della pagina wiki
https://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_risolubile

[hydro]

1) Non so quasi nulla di gruppi ma ad occhio non hai vie migliori che fattorizzare tutti i numeri minori di 60 e usare Sylow a manetta.

2) Credo che il punto sia il seguente: dentro $T_n$, gruppo delle triangolari superiori invertibili, hai un sottogruppo normale $H_n$ dato dalle matrici con tutti $1$ sulla diagonale. Il quoziente è \((K^*)^n\) perchè questo sottogruppo è il nucleo dell'omomorfismo che manda una matrice nella sua diagonale, pensata come un elemento di \((K^*)^n\). Quindi il quoziente è abeliano. Adesso dentro ad $H_n$ prendi il sottogruppo delle matrici che hanno tutti $0$ sulla diagonale appena sopra a quella principale, ovvero gli elementi $(a_{ij})\in T_n$ tali che $a_{ii}=1$ per ogni $i$ e $a_{i(i+1)=0}$ per ogni $i$. Questo di nuovo è normale perchè è il nucleo dell'omomorfismo $H_n\to K^{n-1}$ che manda $(a_{ij})\in H_n$ in \((a_{12},a_{23},\ldots,a_{(n-1)n})\). Il quoziente è di nuovo abeliano. Dentro ad $H_{n-1}$ adesso prendi le matrici $(a_{ij})$ con $a_{i(i+2)}=0$ per ogni $i$, e ragiona analogamente. Così costruisci una catena di sottogruppi a quozienti abeliani perchè l'ultimo che troverai sarà isomorfo a $K$.