Perché i numeri quadrati sono chiamati "perfetti"?

[Lorenzo Pantieri]

Un numero figurato è un intero che può essere rappresentato da uno schema geometrico regolare di punti, nel piano o nello spazio.

Per esempio, un numero triangolare è un intero che si ottiene disponendo dei sassolini a forma di triangolo, mentre un numero quadrato è un intero che si ottiene disponendo dei sassolini a forma di quadrato.

Perché i numeri quadrati sono chiamati anche "quadrati perfetti", mentre i numeri triangolari non si chiamano "triangoli perfetti"? La stessa cosa vale per i numeri pentagonali, esagonali e così via: non vengono mai definiti "perfetti", solo i quadrati lo sono.

Una situazione analoga si presenta nello spazio: ci sono i "cubi perfetti" ma non i "numeri piramidali perfetti". Perché?

Chi ha deciso di chiamare "perfetti" i quadrati e i cubi perfetti? E perché? Il nome è matematicamente giustificato? O è solo un retaggio storico?

Grazie.

[Quinzio]

Rispondo in modo intuitivo, senza nessuna conoscenza certa.
Credo che piu' che altro, queste definizioni si riferiscano a figure geometriche sul piano, piuttosto che a "sassolini" o, meglio, a figure definite su una scacchiera dove un quadretto e' un intero.
Il quadrato perfetto e' un quadrato di area intera che ha il lato di misura intera.
Idem per il cubo.
Una volta data l'area del quadrato o il volume del cubo, il lato e' determinato, e quindi si puo' parlare si queste figure "perfette".
Ma per un triangolo ?
Dato un triangolo di area intera, quali dimensioni hanno i lati ? Esistono infatti infiniti triangoli con la stessa area, quindi questa idea di "perfezione" perde un po' il suo significato (secondo me, poi ognuno puo' avere la sua idea).
Si potrebbe prendere un triangolo equilatero, un po' come il quadrato e' "equilatero", ma allora un triangolo equilatero con area intera non ha il lato di misura intera, e quindi anche qui si perde l'idea di perfezione.
Forse i triangoli rettangoli i cui lati sono una terna pitagorica si avvicinano a questa idea di perfezione, chissa'...

Se poi passiamo ad una scacchiera (o ai sassolini) la situazione mi sembra che peggiori.
Un triangolo rettangolo di lati 6, 8, e 10 come lo disegniamo sulla scacchiera ? I lati di 6 e 8 si disegnano bene, ma l'ipotenusa, come viene misurata ? Metto i quadratini paralleli all'ipotenusa ? La misuro con un righello ? Se si, quali sono gli estremi ? Oppure conto i lati dei quadrati che formano l'ipotenusa ?

Di tutte le figure il quadrato, (e il cubo come versione 3D) sono gli unici che si adattano bene ad ogni situazione. Quindi direi che si sono meritati il titolo di "perfetti".

[axpgn]

Forse i triangoli rettangoli i cui lati sono una terna pitagorica si avvicinano a questa idea di perfezione, chissa'...

Ma anche in questo caso non hai, in generale, un solo triangolo ...

@Lorenzo Pantieri

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Problemi con AV

[sellacollesella]

Premesso che le mie conoscenze al riguardo tendono al vuoto assoluto, se mi trovassi in qualche circostanza in cui fossi obbligato a rispondere (ad esempio, un quiz di Gerry Scotti) io sarei propenso per un retaggio storico. Tale scelta sarebbe dovuta al fatto che alle superiori la nostra docente di matematica era solita fare qualche digressione storica (a detta sua, per alleggerire un po' le lezioni più pesanti) e se non ricordo male una volta citò delle tavolette risalenti all'antica Babilonia in cui erano incisi tramite "scrittura cuneiforme" quelli che oggi conosciamo come quadrati e cubi perfetti, i quali erano molto importanti per fare calcoli legati ai lotti di terra e all'architettura. Per cui, ecco, probabilmente l'aggettivo "perfetti" è dovuto al fatto che erano numeri che agevolavano i conti manuali, specie nell'esecuzione dell'estrazione di radice (quadrata o cubica).

[otta96]

Dico la mia: perchè si vuole specificare che sono quadrati di numeri naturali, sennò tutti i numeri (positivi) sarebbero dei quadrati, anche $3$, il quadrato di $sqrt3$.
Perchè SOLO questi (tra le varie figure)? Penso perchè innanzitutto sono i più importanti, e fondamentalmente gli unici ad essere ancora usati non semplicemente come curiosità (esagerando un po'), e poi anche perchè sono gli unici che non sono solo "un quadrato", ma "il quadrato di un altro numero", cioè anche la funzione inversa è interessante diaciamo.

[@melia]

Qualsiasi reale positivo è un quadrato di un numero reale, si parla di quadrati perfetti quando un numero naturale è il quadrato di un altro numero naturale.
In pratica sono d'accordo con otta96