Problema su un esempio sul campo di Galois

[GBX1]

Buongiorno a tutti, studiando un esempio sui campi di Galois sul testo della prof.ssa Piacentini Cattaneo (pag. 364), mi sono imbattuto in un problema che vado a descrivere.
L'esempio consiste nell'applicazione del teorema di corrispondenza di Galois, nel caso in cui il polinomio sia $ f(x)=x^3-2 in QQ[x] $ . Risulta: $ x^3-2 =(x-root(3)(2))(x-omega root(3)(2))(x-omega ^2root(3)(2)) $
dove $ omega $ è la radice terza primitiva dell'unità. Il campo di spezzamento di f(x) è: $ K=QQ(root(3)(2),omega ) $.
Un elemento $ sigma in G(K,QQ) $ è individuato non appena si conoscano $ sigma(root(3)(2)) $ e $ sigma(omega ) $ . Esistono in tutto 6 automorfismi:
\( \sigma _1=id \)
$ sigma_2: sigma _2(omega )=omega ^2,sigma _2(root(3)(2))=root(3)(2) $
$ sigma_3: sigma _3(omega )=omega ,sigma _3(root(3)(2))=omega root(3)(2) $
$ sigma_4=sigma _3^2:sigma _4(omega )=omega , sigma _4(root(3)(2))=omega ^2 root(3)(2) $
$ sigma_5=sigma _2@ sigma _3:sigma _5(omega )=omega ^2,sigma _5(root(3)(2))=omega ^2 root(3)(2) $
$ sigma_6=sigma _2@ sigma _3^2: sigma _6(omega )=omega ^2,sigma _6(root(3)(2))=omega root(3)(2) $.
Risulta, com'è facile controllare (teorema di Cayley), $ G(K,QQ) $ isomorfo a $ S_3 $ .
Le espressioni degli automorfismi riportati sopra sono quelli del testo (incidentalmente, a me pare che le espressioni di $ sigma _5=sigma _2@ sigma _3 $ , e di $ sigma _6=sigma _2@ sigma _3^2 $ debbano essere scambiate, se si calcolano le composizioni si vede che è così).
Però il problema non è questo; il problema riguarda l'isomorfismo del gruppo di Galois col gruppo di trasformazioni. Infatti $ sigma _2^2=sigma _2@ sigma _2= $ id, quindi $ sigma _2 $ corrisponde ad una delle tre trasformazioni $ (1,2), (1,3), (2,3) $ in $ S_3 $ . Allora ciò vuol dire che ci devono essere altri due automorfismi $ sigma _i, sigma_j $ tali che i loro quadrati (ossia le loro rispettive composizioni) diano come risultato l'automorfismo identico. Però a me questo fatto non risulta, cioè se calcolo $ sigma _k^2 (k=3,4,5,6) $ , in nessun caso ottengo l'identità; motivo per cui l'isomorfismo in questione risulta dubbio. Forse sono io che calcolo erroneamente le composizioni degli automorfismi. C'è qualcuno che può spiegarmi l'arcano?
Grazie per l'attenzione.

[Martino]

Chiamando $alpha$ la radice cubica di $2$ e $sigma=sigma_5$ hai

$sigma(sigma(omega))=sigma(omega^2)=sigma(omega)^2=(omega^2)^2=omega$

$sigma(sigma(alpha))=sigma(omega^2 alpha) = sigma(omega^2) sigma(alpha) = omega omega^2 alpha= alpha$

Quindi $sigma^2$ fissa i due generatori, cioè $sigma^2=1$.

Analogamente con $sigma_6$.

[GBX1]

Grazie Martino per la risposta. Adesso le cose tornano, e io mi sento meglio! Ciao