Estensioni cicliche

[francicko]

Se $f(x)$ ha grado $1$ allora $Q[x]//f(x)$ è il campo $Q$, se $f(x)$ ha grado $2$ allora $Q(x)//F(x)$ è formato da tutte le classi i equivalenza ${[a_0+a_1x]$ $:$ $a_i$ $in$ $Q$, in generale se $f(x)$ ha grado $n$ risulta
$Q[x]//f(x)={[a_0+a_2x+a_2x^2+....a_(n-1)x^(n-1)]$ $:$ $a_i$ $in$ $Q}$, pertanto le definizioni di somma e prodotto sulle classi di equivalenza ed l'isomorfismo $a_i ->[a_i]$ implicano $[a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_(n-1)x^(n-1)]=[a_0]+[a_1][x]+a_2[x^2]+....+a_(n-2)[x]^(n-1)$ giusto?
Ora posso rimpiazzare $[x]$ con una soluzione $phi$ del polinomio così che risulta :
$Q[x]//f(x)={a_0+a_1phi+a_2phi^2+...+a_(n-1)phi^(n-1)$ $:$ $a_i$ $in$ $Q}$
Se $f(x)$ è irriducibile ogni elemento della forma su indicata risulta invertibile ed $Q[x]//f(x)$ è un campo, cosa c'è di sbagliato in questo ragionamento?

[Martino]

Se $f(x)$ ha grado $1$ allora $Q[x]//f(x)$ è il campo $Q$, se $f(x)$ ha grado $2$ allora $Q(x)//F(x)$ è formato da tutte le classi i equivalenza ${[a_0+a_1x]$ $:$ $a_i$ $in$ $Q$, in generale se $f(x)$ ha grado $n$ risulta
$Q[x]//f(x)={[a_0+a_2x+a_2x^2+....a_(n-1)x^(n-1)]$ $:$ $a_i$ $in$ $Q}$, pertanto le definizioni di somma e prodotto sulle classi di equivalenza ed l'isomorfismo $a_i ->[a_i]$ implicano $[a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_(n-1)x^(n-1)]=[a_0]+[a_1][x]+a_2[x^2]+....+a_(n-2)[x]^(n-1)$ giusto?

Fino a qui ha più o meno senso, tolta la parte "l'isomorfismo $a_i -> [a_i]$" che non ha nessun senso.

Ora posso rimpiazzare $[x]$ con una soluzione $phi$ del polinomio così che risulta :
$Q[x]//f(x)={a_0+a_1phi+a_2phi^2+...+a_(n-1)phi^(n-1)$ $:$ $a_i$ $in$ $Q}$

Questo non ha nessun senso, come fai a sostituire alla $x$ un'altra cosa così allegramente?

Se $f(x)$ è irriducibile ogni elemento della forma su indicata risulta invertibile ed $Q[x]//f(x)$ è un campo, cosa c'è di sbagliato in questo ragionamento?

Sul fatto che $QQ[X]//(f(x))$ è un campo non ci sono dubbi (dato che $f(x)$ è irruducibile) ma quello che devi mostrare è che $QQ[X]//(f(x))$ è isomorfo a $QQ(phi)$ dove $phi$ è una radice di $f(x)$ (nota bene: isomorfo, non uguale), per farlo devi prendere la classe di un polinomio $P(x)$ e mandarla in $P(phi)$ e mostrare che questo è un isomorfismo.

Data $phi$ radice del polinomio $f(x)$ (irriducibile) si ha $QQ[x]//(f(x)) cong QQ(phi)$, questo è vero. Se adesso lo componi con $QQ(psi) cong QQ[x]//(f(x))$ dove $psi$ è un'altra radice del polinomio, ottieni che $QQ(phi)$ è isomorfo a $QQ(psi)$.

Il problema è che, da quello che scrivi, secondo me non ti è nemmeno del tutto chiaro cosa significhi isomorfismo. In ogni caso mi fermo qui perché sono stanco, ciao.