Estensioni cicliche

[francicko]

Sia $Q$ campo dei razionali $p(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile,$(x_1,x_2,.….x_n)$ le radici distinte, e supponiamo che risulti $E =Q( x_i)$ campo di spezzamento con $x_i$ radice qualsiasi, sotto quali altre condizioni $E$ potrebbe risultare un estensione ciclica?

[hydro]

Quando $n$ è primo.

[francicko]

Si se $n$ è primo il gruppo di galois è ciclico quindi l'estensione è ciclica, ma se $n$ non è primo?
Cosa si può dire ?

[hydro]

In generale, niente.

[francicko]

In questo caso il numero degli automorfismi è $n$ , e
stabilito che $(x_1x_2,...x_n)$ sono le radici distinte di $p(x)$ avremo che $x_1->x_1$, $x_1->x_2$, $x_1->x_3$,...,$x_1->x_n$ sono esattamente gli $n$ automorfismi distinti, per dimostrarlo dovrei fare vedere che comunque fissate due radici $x_i $ ed $x_j$, l'automorfismo $x_i->x_j$ è della forma di quelli descritti sopra, come si può dimostrare ? Si può dimostrare anche senza ricorrere all'induzione?

[hydro]

Hai una confusione così grande in testa che non ti è neanche chiaro cosa non ti sia chiaro. $x_1\to x_2$ non solo non è un automorfismo, ma è una concatenazione di simboli che proprio non ha alcun senso matematico.

[francicko]

Chiedo scusa ho scritto malissimo la domanda, cerco di essere più chiaro!
Sia $Q$ il campo dei razionali, $p(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, $(x_1,x_2,...,x_n)$ le sue radici distinte, le estensioni $Q(x_1)~~Q(x_2)~~,...,~~Q(x_n)$ risulteranno tra loro isomorfe mi sbaglio?
Supponiamo ora che risulti $Q(x_1,x_2,..x_i...,x_n)=Q(x_1)$ e sia $phi$ un automorfismo risultera $phi(x_i)=x_j$ in quanto una radice verrà mandata in un altra radice ,giusto?
Prendiamo una qualsiasi radice $x_1$ possiamo considerare i distinti automorfismi $phi_1(x_1)=x_1$, $phi_2( x_1)=x_2$, $phi_3(x_1)=x_3$,....., $phi_n( x_1)=x_n$, dico che questi sono gli unici automorfismi distinti in numero di $n$ del campo di spezzamento $E=Q(x_1,x_2,....,x_n)=Q(x_1)$, per mostrarlo dovrei fare vedere che comunque preso un qualsiasi automorfismo esso ha la forma di uno dei su indicati, si può fare?

[hydro]

Chiedo scusa ho scritto malissimo la domanda, cerco di essere più chiaro!
Sia $Q$ il campo dei razionali, $p(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, $(x_1,x_2,...,x_n)$ le sue radici distinte, le estensioni $Q(x_1)~~Q(x_2)~~,...,~~Q(x_n)$ risulteranno tra loro isomorfe mi sbaglio?
Supponiamo ora che risulti $Q(x_1,x_2,..x_i...,x_n)=Q(x_1)$ e sia $phi$ un automorfismo risultera $phi(x_i)=x_j$ in quanto una radice verrà mandata in un altra radice ,giusto?
Prendiamo una qualsiasi radice $x_1$ possiamo considerare i distinti automorfismi $phi_1: x_1->x_1$, $phi_2: x_1->x_2$, $phi_1: x_1->x_3$,....., $phi_n: x_1->x_n$, dico che questi sono gli unici automorfismi distinti in numero di $n$ del campo di spezzamento $E=Q(x_1,x_2,....,x_n)=Q(x_1)$, per mostrarlo dovrei fare vedere che comunque preso un qualsiasi automorfismo esso ha la forma di uno dei su indicati, si può fare?

Insisti a non ascoltare. Dire che $\phi:x_1\to x_1$ è un autormorfismo significa non aver capito che cos'è un automorfismo.

[francicko]

Ho modificato, così va bene?

[francicko]

Ho modificato il post sopra , si capisce così?