da Quinzio » 13/10/2023, 17:38
Vediamo il caso $n = 3$.
$ Isube {1,...,n} $ diventa $I sube {1,2,3}$.
Questa espressione dice che $I$ e' un sottinsieme di ${1,2,3}$, quindi dobbiamo prendere tutti i casi possibili.
$I = {1} $
$I = {2} $
$I = {3}$
$I = {1,2} $
$I = {2,3} $
$I = {1,3} $
$I = {1,2,3} $
E' meglio distinguerli con un pedice cosi' dopo diventa piu' chiaro.
$I_1 = {1} $
$I_2 = {2} $
$I_3 = {3}$
$I_4 = {1,2} $
$I_5 = {2,3} $
$I_6 = {1,3} $
$I_7 = {1,2,3} $
Adesso la formula diventa:
$ | B| =sum_{k=1}^6 ((-1)^(| I_k| +1)| nn _(iin I_k) A_i| ) $
Quindi la sommatoria e' una somma di 6 termini, e adesso vediamo il primo, con $k=1$, per cui $I_1 = {1}$ e la cardinalita' e' $|I_1| = 1$ perche' contiene solo un numero.
$ (-1)^(| I_1| +1)| nn _(iin I_1) A_i| $
$ =(-1)^(1 +1)| nn _(iin I_1) A_i| $
$ = 1 | nn _(iin I_1) A_i| $
$ = | nn _(iin I_1) A_i| $
Adesso dobbiamo fare la disgiunzione di tutti gli $A_i$ dove $i$ e' un indice che "scansiona" tutti gli elementi di $I$.
In questo caso $I$ ha solo un elemento quindi l'espressione diventa
$|A_1|$.
Dobbiamo prendere la cardinalita' di $A_1$, qualunque essa sia.
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Poi ne vediamo un altro, con $k=4$, per cui $I_4 = {1,2}$ e la cardinalita' e' $|I_4| = 2$ perche' contiene due numeri.
$ (-1)^(| I_4| +1)| nn _(iin I_4) A_i| $
$ =(-1)^(2 +1)| nn _(iin I_4) A_i| $
$ = -1 | nn _(iin I_4) A_i| $
$ =- | nn _(iin I_4) A_i| $
Adesso dobbiamo fare la disgiunzione di tutti gli $A_i$ dove $i$ e' un indice che "scansiona" tutti gli elementi di $I$.
In questo caso $I$ ha due elementi ${1,2}$ quindi l'espressione diventa
$|A_1 nn A_2|$.
Fare la disgiunzione $nn$ significa prendere solo gli elementi in comune.
Poi si deve prendere la cardinalita' di questi elementi in comune, ovvero contare quanti sono.
Adesso dovrebbe essere tutto piu' chiaro.
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Quinzio il 13/10/2023, 17:44, modificato 1 volta in totale.