Teorema cinese del resto

[Wamog]

Salve a tutti, affrontando il corso di algebra 1 mi sono imbattuto in dei dubbi su questo teorema.
Abbiamo dimostrato che un sistema di due congruenze del tipo x=a mod(m) e y=b mod(n) ha soluzione se e solo se mcd(m,n)|(b-a). In tal caso la soluzione è unica mod(mcm(m,n)).
Come corollario vale una delle formulazioni del teorema cinese del resto, cioè che m,n>0 coprimi implica che il sistema precedentemente citato ha soluzione mod(mn).
Fin qui tutto chiaro, però viene poi osservato che questo corollario equivale ad osservare che m,n coprimi implica che la funzione che manda [x]mn in ([x]m, [x]n) è biunivoca.
Vorrei capire quindi come si dimostrano:
- la buona definizione di questa funzione
- la sua biunivocità
- il viceversa, cioè se vale quest'ultima osservazione, allora vale il teorema cinese del resto
Grazie mille

[megas_archon]

Il teorema cinese del resto afferma questa cosa: prendi due interi positivi coprimi $m,n$ (per esempio 3 e 7, ma $m,n$ in sé stessi non devono essere primi, solo primi tra loro); allora, la riduzione di un intero modulo 21 (cioè modulo \(3\cdot 7\)) a un intero modulo 3 e a un intero modulo 7 definisce una funzione
\[\begin{CD}\mathbb Z/21\mathbb Z @>>>\mathbb Z/3\mathbb Z\times \mathbb Z/7\mathbb Z\end{CD}\] che manda \(x\pmod{21}\) in \((x\pmod3,x\pmod 7)\).

Questa funzione è

1- ben definita
2- biiettiva
3- un omomorfismo di anelli

Per vedere 1, prendi un y nella stessa classe di congruenza di $x$. Allora, la differenza \(y-x\) è un multiplo di \(21=3\cdot 7\), e quindi sia la riduzione modulo 3 che la sua riduzione modulo 7 di y sono uguali a quelle di x.

2 è la parte che di solito si chiama "teorema cinese dei resti": se la riduzione di $x$ modulo 3, e anche quella modulo 7, sono zero, significa che \(x=3n=7m\), e usando il fatto che \(3,7\) sono coprimi, deve per forza essere \(x=3\cdot 7k\), sicché deve per forza essere che \(x\pmod{21}=0\).
Del resto ora puoi usare quel trucco magico che dice che una funzione tra insiemi [finiti!] della stessa cardinalità è iniettiva se e solo se è suriettiva, e quindi concludere che la tua mappa è anche suriettiva.

Per vedere 3, si fa come in ogni altra circostanza del genere, ricordando che le operazioni di anello su \(\mathbb Z/3\mathbb Z\times \mathbb Z/7\mathbb Z\) si fanno separatamente nelle due componenti.

Generalizzazioni varie:

- a due numeri coprimi generici
- a $k$ numeri \(n_1,\dots, n_k\) a due a due coprimi

[Wamog]

Grazie mille!