Due domande su dimostrazione primo anno

[Martino]

Prego! Il fatto che una funzione $f$ ha infinite primitive (se ne ha una, $F$) è ovvio: basta osservare che le funzioni $F+c$ sono infinite ($c in RR$) perché i numeri reali sono infiniti. Di nuovo, non so se ho risposto perché non mi è del tutto chiaro quale sia il tuo dubbio

[tramitetramitoso]

Si, intendevo dire che come mi indicavi tu io ho l'insieme A di tutte le funzioni F+c che sono infinite. Poi abbiamo B insieme di tutte le primitive.
Poi con il "ragionamento (a)" noi mostravamo che A è contenuto in B, mentre con (b) mostravamo che B (insieme di tutte le primitive di f) è contenuto in A. Tuttavia di per sé non so a priori se B è infinito o meno, nemmeno se ha lo stesso "numero" di elementi di A.

Però nell'affermazione (c) si affermava che "se in un intervallo [a,b] una f ammette primitiva F, allora ne ha infinite che differiscono da F di una costante additiva."

E quindi inizialmente non capivo cosa mi garantisse l'affermazione "allora ne ha infinite".

Ho dedotto che posso affermarlo proprio perché ho mostrato che A=B e A è infinito, quindi B è infinito e vale l'affermazione (c)

Dove con a) e b) intendo

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

a) sia f:[a,b]->R una funzione. Se F(x) è una sua primitiva su [a,b] allora anche G(x)=F(x)+c, c in R è primitiva di s sull'intervallo.

b)siano F,G:[a,b]->R due primitive di una funzione f:[a,b]->R allora esiste c in R tale che G(x)=F(x)+c per ogni x in [a,b]

Comunque tornando invece al discorso delle freccette, quando mi dicevi

Dici cose sostanzialmente giuste, ma il tuo stile è troppo discorsivo e ti concentri troppo su dettagli poco importanti.

Commetto ancora l'errore che per capire una cosa vista in modo formale cerco un esempio semplice (appunto gli insiemi di tre elementi) e cerco di applicare il concetto A contenuto in B e B contenuto in A e verificare che A=B.
Però mi rendo conto che sia un modo stupido per imparare le cose e mi devo sforzare a non farlo.

[Martino]

Ok benissimo! Mi fa piacere che ti sia capito.

Commetto ancora l'errore che per capire una cosa vista in modo formale cerco un esempio semplice (appunto gli insiemi di tre elementi) e cerco di applicare il concetto A contenuto in B e B contenuto in A e verificare che A=B.
Però mi rendo conto che sia un modo stupido per imparare le cose e mi devo sforzare a non farlo.

Non capisco bene cosa intendi, in ogni caso farsi esempi semplici è sempre un'ottima idea ed è necessario per capire. Non capisco perché sembri convinto che invece non sia una grande idea. Farsi esempi è fondamentale. Il problema è che gli esempi da soli non sono una dimostrazione. Se scrivi che vuoi dimostrare una cosa e poi invece analizzi due o tre esempi molto semplici e molto specifici, stai sbagliando. Le dimostrazioni vanno fatte in generale. Questo non toglie però che farsi esempi per capire è fondamentale e necessario.

[tramitetramitoso]

No beh, intendevo dire che mi avevi detto che "dicevo cose giuste ma" in sostanza non molto interessanti. E quindi l'avevo preso come un "non va molto bene ragionare così". Ovviamente i miei disegni non volevano affatto essere DIMOSTRAZIONE, quello proprio no, mi è chiara la differenza tra dimostrazione ed esempietto sciocco.

Più che altro cercavo di capire a livello inuitivo come funzionavano le cose, negli esempi [A] e [C] che erano casi specifici di uguaglianza ed equipotenza. Non so bene come spiegare, ma volevo figurarmi con un numero finito di elementi dei due insiemi perché mostrare che A contenuto in B e B contenuto in A faceva sì che ci fosse un collegamento/freccetta "uno a uno" tra elementi. E' come se quell'esempio semplice mi aiutasse a capire come funziona: ossia capire che se dimostro per ogni elemento di A ne trovo uno in B ma non li "copro tutti", quindi è utile dimostrare che ogni elemento di B è in A e che quindi tutti gli elementi hanno una sola freccia "doppia" che li collega. Per intenderci questo:

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La mia idea era stata questa, per intuire autonomamente il concetto avevo usato gli insiemi alla Venn
1) siccome nella prima parte (A incluso in B) si parte da un insieme A, avevo così disegnato qualche elemento nell'insieme $A={a,b,c}$, la prima parte della dimostrazione ci dice che ogni elemento di A è anche in B, Quindi potrei avere un elemento di B, mettiamo "d" che non fa parte di A: $B={a,b,c,d}$.
2) La seconda parte della dimostrazione invece parte da un insieme B e ci porta a dire che ogni elemento di B è anche elemento di A; questo ci assicura che "d" non apparteneva a B, perché apparterrebbe anche ad A e ciò non è vero per come abbiamo definito A (oppure avevamo definito male A ed era $A={a,b,c,d}$). Tuttavia ora si potrebbe obiettare che la seconda parte della dimostrazione che dice che ogni elemento di B è anche elemento di A potrebbe anche ammettere che esiste un elemento di A (chiamiamolo "e") che non fa parte di B, cioè avrei un $A={a,b,c,e}$, ma questo non è appunto vero per la prima parte della dimostrazione: ogni elemento di A è elemento di B e quindi in tal caso sarebbe elemento di B questo ipotetico "e" e si avrebbe A=B comunque, con $A={a,b,c,e}$, oppure questo "e" non esiste e quindi $A:={a,b,c}=B$.
Risultato: posso collegare con una freccetta ogni elemento di A con un elemento di B come in figura seguente:

(dove la freccetta schematizza che l'elemento in A è elemento di B e viceversa, quindi che uno è sottoinsieme dell'altro)
Fin qui mi sembrava corretto o sbaglio? Mi sembra un ragionamento consono.

E non capivo se fosse una buona idea vedere questa intuizione. Per poi formalizzarla. E avevo intuito che suggerivi di non farlo

[Martino]

Ok!