Due domande su dimostrazione primo anno

[tramitetramitoso]

Ciao, sono iscritto al primo anno e sto seguendo alcuni corsi di algebra e analisi e credo di avere due dubbi (che poi temo originino da uno unico) su una dimostrazione. So che è una dimostrazione di analisi, ma non mi importa la dimostrazione in sé quanto più il ragionamento logico e quindi credo questa sezione sia più adatta. Vengo al dunque:

1) Integrali indefiniti:
a) sia f:[a,b]->R una funzione. Se F(x) è una sua primitiva su [a,b] allora anche G(x)=F(x)+c, c in R è primitiva di s sull'intervallo.

b)siano F,G:[a,b]->R due primitive di una funzione f:[a,b]->R allora esiste c in R tale che G(x)=F(x)+c per ogni x in [a,b]

Fin qui anche come dimostrazioni tutto chiaro, ora il dubbio:
Mettendo assieme i due il prof dice:
c) se in un intervallo [a,b] una f ammette primitiva F, allora ne ha infinite che differiscono da F di una costante additiva.


Credo di non capire perché i due teoremi sopra portino al c), vediamo se riesco a spiegare dove mi inceppo e se la soluzione che mi sono dato è corretta...
il thm a) ci dice che presa una funzione F primitiva posso trovare infinite (altre) primitive aggiungendo una arbitraria costante e una alla volta ne ho infinite che sono di nuovo primitiva. Benissimo. Però questo non dimostra che io potrei avere delle (differenti) primitive che non si ottengano per somma di una costante.

Ora prendo b) e dico: due qualunque primitive sono "distanziate" da una costante reale c, però questo non dimostra che siano infinite le soluzioni, però come detto in a) erano infinite quindi i due a) e b) mi danno c)
E' giusto? non mi sento tanto sicuro.



2) La seconda domanda è un po' una generalizzazione della prima perché vedo che generalmente ci sono dimostrazioni del genere e vorrei capire se ho capito bene il senso.
Mettiamo di avere due insiemi A e B, in generale si possono svolgere due dimostrazioni.
s) si dimostra che a ogni elemento di A ne corrisponde uno di B (cioè per ogni elemento di A ho un elemento in B)
t) se dimostro anche che: per ogni elemento di B ho sempre un elemento di A.
Allora concludo che ho un elemento di A se e e solo se ho un elemento di B. Cioè in poche parole ho una biunivocità tra i due elementi. (detto malamente ma credo utile per capire meglio la domanda: non ci sono elementi scoperti tra A e B e sono collegati tutti quelli di A a quelli di B e non "salto" alcun elemento in B)

E' corretto come ragiono(?):
Mi confonde un po' questo concetto per via del ragionamento seguente:
s) con la prima parte posso dimostrare che ogni elemento di A ne ha uno in B, ma B potrebbe avere elementi non "collegati" a nessuno di A. Questo primo problema è risolto dal punto seguente:
t) se con la seconda dimostro però che ogni elemento di B ha un corrispettivo in A allora, noto che B non aveva elementi scoperti come supponevo in s) però potrei ancora dire che in A mancano degli elementi collegabili a B. Tuttavia per via della prima parte dimostrata mi pare di capire che questo non è possibile e questo conclude il ragionamento.


So che è un po' generico come discorso e non so bene come formalizzarlo, però vedo sempre dimostrazioni che si basano su questo concetto e vorrei vederci piu chiaro.

[Martino]

Sul punto 1, se per (c) intendi "due qualsiasi primitive (in un intervallo) differiscono per una costante" allora da a e b non segue c. Per mostrare c ti serve il cosiddetto teorema del valor medio, che implica che se una funzione ha derivata nulla in un intervallo allora è costante in tale intervallo. Se invece per (c) intendi "una funzione integrabile ha infinite primitive" allora segue da (a) e (b) perché data una primitiva F, se ci aggiungi una costante qualsiasi ottieni un 'altra primitiva.

Il punto 2 non c'entra niente col punto 1, ma mi limiterei a questo.

[tramitetramitoso]

Devo dire che non sono molto convinto di aver capito, cerco di spiegare perché

se per (c) intendi "due qualsiasi primitive (in un intervallo) differiscono per una costante"

In realtà questa affermazione mi sembra proprio la mia (b), non ho capito perché potrebbe essere secondo te la (c) da come l'ho scritta.

Se invece per (c) intendi "una funzione integrabile ha infinite primitive"

E questa mi sembra la mia affermazione (a)

(c), da come l'ho capita io dice: tutte le primitive di f sono quelle che si ottengono da una qualsiasi primitiva F sommando qualsiasi c in R


Per questo parlavo del ragionamento:

Credo di non capire perché i due teoremi sopra portino al c), vediamo se riesco a spiegare dove mi inceppo e se la soluzione che mi sono dato è corretta...
il thm a) ci dice che presa una funzione F primitiva posso trovare infinite (altre) primitive aggiungendo una arbitraria costante e una alla volta ne ho infinite che sono di nuovo primitiva. Benissimo. Però questo non dimostra che io potrei avere delle (differenti) primitive che non si ottengano per somma di una costante.

Ora prendo b) e dico: due qualunque primitive sono "distanziate" da una costante reale c, però questo non dimostra che siano infinite le soluzioni, però come detto in a) erano infinite quindi i due a) e b) mi danno c)
E' giusto? non mi sento tanto sicuro.

Quello che voglio dire è questo: il punto (a) mi dice che presa una F primitiva trovo infinite primitive F+c usando un c in R (con questa dimostrazione io so che ne ho infinite di primitive, ma non so il "viceversa": potrebbe benissimo esistere una primitiva che non si ottiene come F+c).

E' invece il ragionamento (b) a dirmi che ogni primitiva è "distanziata" da una seconda primitiva qualsiasi da c in R. Come dicevo però (b) non mi sembra garantire che le soluzioni siano infinite (devo sfruttare (a)).

E in questo senso mi sembrava legarsi al punto (2):
se dico A è l'insieme di tutte le funzioni F+c con F primitiva di f e B l'insieme di tutte le primitive di f, sfruttando (a) dimostro che "tutte le F+c sono primitive", quindi per ogni elemento di A ho gli elementi di B.

Tuttavia non sappiamo ancora se tutti gli elementi di B hanno un corrispondente in A (ossia se sono della forma F+c). Lo dimostro tramite (b).

(c)=(A)+(b) a questo punto mi sembra affermare che (parte sottolineata)

Mettiamo di avere due insiemi A e B, in generale si possono svolgere due dimostrazioni.
s) si dimostra che a ogni elemento di A ne corrisponde uno di B (cioè per ogni elemento di A ho un elemento in B)
t) se dimostro anche che: per ogni elemento di B ho sempre un elemento di A.
Allora concludo che ho un elemento di A se e e solo se ho un elemento di B. Cioè in poche parole ho una biunivocità tra i due elementi. (detto malamente ma credo utile per capire meglio la domanda: non ci sono elementi scoperti tra A e B e sono collegati tutti quelli di A a quelli di B e non "salto" alcun elemento in B)

[Martino]

Fissiamo una primitiva $F$ di $f$ (su un intervallo). Sia $A$ l'insieme di tutte le funzioni $F+c$ con $c$ costante e $B$ l'insieme di tutte le primitive di $f$. Il punto (a) ti dice che $A$ è un sottoinsieme di $B$, mentre il punto (b) ti dice che $B$ è un sottoinsieme di $A$. Quindi $A=B$.

[tramitetramitoso]

Ti ringrazio molto per la risposta. Mi piacerebbe tanto chiederti 3 approfondimenti sulla questione. In questo post metto i primi due per non far venire uno scritto troppo pesante.

1)

Fissiamo una primitiva $F$ di $f$ (su un intervallo). Sia $A$ l'insieme di tutte le funzioni $F+c$ con $c$ costante e $B$ l'insieme di tutte le primitive di $f$. Il punto (a) ti dice che $A$ è un sottoinsieme di $B$, mentre il punto (b) ti dice che $B$ è un sottoinsieme di $A$. Quindi $A=B$.

la prima cosa che mi interessava chiederti è quindi, in questa parte quotata stai sfruttando la seguente interpretazione se non sbaglio?

Se invece per (c) intendi "una funzione integrabile ha infinite primitive" allora segue da (a) e (b) perché data una primitiva F, se ci aggiungi una costante qualsiasi ottieni un 'altra primitiva.

E non questa:

Sul punto 1, se per (c) intendi "due qualsiasi primitive (in un intervallo) differiscono per una costante" allora da a e b non segue c. Per mostrare c ti serve il cosiddetto teorema del valor medio, che implica che se una funzione ha derivata nulla in un intervallo allora è costante in tale intervallo

Io in ogni caso intendevo ovviamente la prima dall'inizio. Volevo essere sicuro di aver chiarito questa confusione iniziale.





2)Riguardo la doppia inclusione volevo chiederti una cosa, più che altro vorrei capire meglio il ragionamento "intuitivo", perché io me lo ero giustificato così.

Mettiamo di avere due insiemi A e B, e ammettiamo di essere riusciti a svolgere due dimostrazioni (seguenti):
s) si dimostra che a ogni elemento di A ne corrisponde uno di B (cioè per ogni elemento di A ho un elemento in B)
t) dimostro anche che: per ogni elemento di B ho sempre un elemento di A.

da (s+t) Allora concludo che ho un elemento di A se e e solo se ho un elemento di B. Cioè in poche parole ho una biunivocità tra i due elementi. (detto malamente ma credo utile per capire meglio la domanda: non ci sono elementi scoperti tra A e B e sono collegati tutti quelli di A a quelli di B e non "salto" alcun elemento in B)

E' corretto come ragiono(?):
Mi confonde un po' questo concetto per via del ragionamento seguente:
s) con la prima parte posso dimostrare che ogni elemento di A ne ha uno in B, ma B potrebbe avere elementi non "collegati" a nessuno di A. Questo primo problema è risolto dal punto seguente:
t) se con la seconda dimostro però che ogni elemento di B ha un corrispettivo in A allora, noto che B non aveva elementi scoperti come supponevo in s) però potrei ancora dire che in A mancano degli elementi collegabili a B. Tuttavia per via della prima parte dimostrata mi pare di capire che questo non è possibile e questo conclude il ragionamento.

In realtà questo discorso è anche un poco più generale della doppia inclusione, dato che io non dico che l'elemento di A appartiene a B, dico solo che sono legati

Mi sembra che il ragionamento sia in un certo senso questo? Però vorrei capire se ci ho visto giusto o meno dato che sono proprio agli inizi del mio cammino e le fregature sono sempre dietro l'angolo. Ovviamente senza pretesa di formalità ma a livello di mera intuizione... oppure non va bene neanche come intuizione?

Specializzata nel nostro esempio, questa idea era quella che dicevo prima

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quello che voglio dire è questo: il punto (a) mi dice che presa una F primitiva trovo infinite primitive F+c usando un c in R (con questa dimostrazione io so che ne ho infinite di primitive, ma non so il "viceversa": potrebbe benissimo esistere una primitiva che non si ottiene come F+c). Cioè formalmente A⊆B

E' invece il ragionamento (b) a dirmi che ogni primitiva è "distanziata" da una seconda primitiva qualsiasi da c in R. Come dicevo però (b) non garantisce che le soluzioni siano infinite (devo sfruttare appunto (a)). In sostanza B⊆A

Per questo vi è la doppia inclusione:
se dico A è l'insieme di tutte le funzioni F+c con F primitiva di f e B l'insieme di tutte le primitive di f, sfruttando (a) dimostro che "tutte le F+c sono primitive", quindi per ogni elemento di A ho gli elementi di B.

Tuttavia non sappiamo ancora se tutti gli elementi di B hanno un corrispondente in A (ossia se sono della forma F+c). Lo dimostro tramite (b).

Voglio però chiarire che non sto ripetendo perché voglio dire questo ragionamento sia giusto, piuttosto vorrei capire SE è giusto e se non lo è dove sbaglio.

[tramitetramitoso]

Mi vergogno a chiederlo perché mi sembra di avere idee imbecilli, lo ammetto. Però devo chiarirmi questo concetto intuitivamente meglio perché sento di non padroneggiarlo a dovere.

[Martino]

Da quello che ho capito dopo la tua risposta (assumendo che tutte le funzioni siano definite su un intervallo),

(a) Se $F$ è una fissata primitiva di $f$ e $c$ è una costante, allora $F+c$ è una primitiva di $f$.
(b) Se $F$ e $G$ sono due primitive di $f$, esiste una costante $c$ tale che $G = F+c$.
(c) Se $F$ è una fissata primitiva di $f$ allora l'insieme delle primitive di $f$ è uguale all'insieme delle funzioni del tipo $F+c$ con $c$ costante.

Come dicevo, da (a)+(b) segue (c). Questo è ovvio.

Mettiamo di avere due insiemi A e B, e ammettiamo di essere riusciti a svolgere due dimostrazioni (seguenti):
s) si dimostra che a ogni elemento di A ne corrisponde uno di B (cioè per ogni elemento di A ho un elemento in B)
t) dimostro anche che: per ogni elemento di B ho sempre un elemento di A.

Mi fermo già qui, quello che scrivi non ha nessun significato. Cosa vuol dire matematicamente che "per ogni elemento di A ho un elemento di B"? Non significa niente. Sarebbe diverso se scrivessi "ogni elemento di A appartiene a B", questo ha perfettamente senso ed è la stessa cosa che dire che $A$ è contenuto in $B$.

Devi sforzarti di scrivere le cose in modo logicamente e matematicamente corretto. Scrivere cose tipo "se ho un elemento di A, allora ho un elemento di B" non ha senso.

[tramitetramitoso]

Per la prima parte direi proprio che non ci sono dubbi, era quello che intendevo e formalizzato alla perfezione.

Volevo approfondire invece questo

Mi fermo già qui, quello che scrivi non ha nessun significato. Cosa vuol dire matematicamente che "per ogni elemento di A ho un elemento di B"? Non significa niente. Sarebbe diverso se scrivessi "ogni elemento di A appartiene a B", questo ha perfettamente senso ed è la stessa cosa che dire che A è contenuto in B.

Devi sforzarti di scrivere le cose in modo logicamente e matematicamente corretto. Scrivere cose tipo "se ho un elemento di A, allora ho un elemento di B" non ha senso.

[A]
La mia idea era stata questa, per intuire autonomamente il concetto avevo usato gli insiemi alla Venn
1) siccome nella prima parte (A incluso in B) si parte da un insieme A, avevo così disegnato qualche elemento nell'insieme $A={a,b,c}$, la prima parte della dimostrazione ci dice che ogni elemento di A è anche in B, Quindi potrei avere un elemento di B, mettiamo "d" che non fa parte di A: $B={a,b,c,d}$.
2) La seconda parte della dimostrazione invece parte da un insieme B e ci porta a dire che ogni elemento di B è anche elemento di A; questo ci assicura che "d" non apparteneva a B, perché apparterrebbe anche ad A e ciò non è vero per come abbiamo definito A (oppure avevamo definito male A ed era $A={a,b,c,d}$). Tuttavia ora si potrebbe obiettare che la seconda parte della dimostrazione che dice che ogni elemento di B è anche elemento di A potrebbe anche ammettere che esiste un elemento di A (chiamiamolo "e") che non fa parte di B, cioè avrei un $A={a,b,c,e}$, ma questo non è appunto vero per la prima parte della dimostrazione: ogni elemento di A è elemento di B e quindi in tal caso sarebbe elemento di B questo ipotetico "e" e si avrebbe A=B comunque, con $A={a,b,c,e}$, oppure questo "e" non esiste e quindi $A:={a,b,c}=B$.
Risultato: posso collegare con una freccetta ogni elemento di A con un elemento di B come in figura seguente:

(dove la freccetta schematizza che l'elemento in A è elemento di B e viceversa, quindi che uno è sottoinsieme dell'altro)
Fin qui mi sembrava corretto o sbaglio? Mi sembra un ragionamento consono.


[B]
A questo punto volevo poi diciamo "generalizzare" questa idea: quello che si ha è che da una parte mostro che ogni freccetta che parte da un elemento di A finisce su un elemento di B, al contrario il mostrare che ogni freccetta che parte da un elemento di B finisce su un elemento di A sembra garantire che a ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B, quindi ho un collegamento uno a uno.
La domanda era quindi: si può generalizzare anche al caso non si una inclusione? Se invece di usare uno stesso elemento "a,b,c..." che siano, appartenenti sia ad A che B, mi chiedevo se si potesse intuitivamente avere qualcosa del genere e rendere formale poi il ragionamento seguente...

1) Se per ogni elemento di $A={a,b,c}$ riesco a collegare con una freccia un elemento di $B$ (questo intendevo con "per ogni elemento di A ho un elemento di B"), similmente al ragionamento sopra ho che alcuni elementi di B possono essere liberi da freccette. Mettiamo un elemento $kinB$ lo sia.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

2) Se ora sfrutto la seconda parte quando dimostro che ogni elemento di B è collegato a uno di A, potrei avere anche una cosa del genere:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quindi contrariamente a prima prendendo (1+2) non riesco in generale ad avere un collegamento uno a uno elemento per elemento di A e B.



[C]
Invece una generalizzazione del ragionamento visto nell'inclusione potrei averla in un esempio del genere:
Assumiamo $A={3,4,5}$ e una relazione (che schematizzo con la solita freccetta) di questo tipo $x+6=y$, con x elementi di A e y di B.
1) Mettiamo di dimostrare che assunto l'insieme A e B ho che per ogni elemento $x inA$ esiste un elemento $yinB$ tale $y=x+6$, quello che sto dicendo è che $B={9,10,11,...}$. Similmente alla inclusione io ho che da ogni elemento di A parte una freccetta che finisce in B sugli elementi 9,10,11.
2) Se dimostro anche che per ogni elemento di B esiste un elemento di A legato da $x=y-6$ allora quello che ottengo è che $B={9,10,11}$ se infatti esistesse un elemento in B (es 15, allora avrei l'elemento 9 in A che è assurdo). E similmente al caso dell'inclusione A non avrà altri elementi. D'altra parte la (2) potrebbe ammettere che in A vi sia un elemento per cui non arriva alcuna freccetta che parte da un elemento di B, ma questo vorrebbe dire che ci sarebbe un elemento x di A per cui non vale $x=y-6$, ma è assurdo dato che $x=y-6 <=>x+6=y $ e dalla (1) sappiamo che per ogni elemento di A si ha un $yinB$ per cui vale la relazione $x+6=y $
insomma, anche qui prendendo (1+2) ho una situazione "uno a uno":

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Tutto prendeva forma da queste considerazioni, quindi mentre la [A] dell'inclusione mi sembra di averla ben digerita e formalizzata, queste ultime due [B],[C] non so bene come renderle formali. Però onestamente mi sembravano ragionamenti validi quindi credo che [C] abbia una qualche valenza generale, cioè che in casi del genere se dimostro 1) e poi 2) assumendo 1+2) si arriva ad avere una biunivocità di quel tipo.

[Martino]

Dici cose sostanzialmente giuste, ma il tuo stile è troppo discorsivo e ti concentri troppo su dettagli poco importanti. Inoltre ti faccio notare che non è molto chiaro in fin dei conti quale sia il tuo dubbio.

In ogni caso, ci sono due concetti che dovresti studiare molto bene e con calma. Sono i concetti di (1) uguaglianza tra insiemi e di (2) equipotenza tra insiemi.

[Uguaglianza] Dire che due insiemi $A$ e $B$ sono uguali significa che ogni elemento di $A$ appartiene a $B$ e che ogni elemento di $B$ appartiene ad $A$. Fine. Qui non ci sono freccette.

[Equipotenza] Dire che due insiemi $A$ e $B$ sono equipotenti significa che esiste una funzione biiettiva (cioè iniettiva e suriettiva) $f:A to B$ (e qui entrano in gioco le freccette di cui parli). Nell'esempio che hai dato $A={3,4,5}$, $B={9,10,11}$ la funzione $f:A to B$, $f(x)=x+6$ è biiettiva (e ovviamente $A ne B$).

Due insiemi uguali sono ovviamente equipotenti (tramite la funzione identità) ma due insiemi equipotenti non sono necessariamente uguali. Quando stavamo parlando di integrali, quello che ti interessava mostrare era che quei due insiemi $A$ e $B$ erano uguali (e non solo equipotenti). Per questo mi sembra strano che consideri la questione delle freccette come una generalizzazione della storia degli integrali. Come ripeto, due insiemi equipotenti non sono necessariamente uguali.

Fai delle ricerche. Queste cose vanno studiate con calma.

[tramitetramitoso]

In effetti credo tu abbia condensato in poche righe quello che cercavo di esprimere come intuizione. Ho guardato i tuoi suggerimenti e credo fosse proprio quello che in modo inconscio avvertivo.
Il discorso giusto che dici è l'intuizione, ma quello che cercavo era proprio la formalità.

E il mio esempio [B.] e [C] credo proprio siano l'esempio in cui in [B.] trovo una funzione/freccetta che collega elementi di due insiemi A e B, ad esempio collega gli elementi di A a quelli di B e poi un'altra funzione che collega elementi di B a quelli di A. Però non è una funzione biiettiva (sono due funzioni diverse e quella che manda elementi B in A non è l'inversa di quella che manda elementi di A in B). Quindi non ho una equipotenza.

Nell'esempio [C] invece ho proprio la funzione e la sua inversa, per questo ho la doppia freccetta che cercavo: biunivocità ergo insiemi equipotenti ma non uguali (come rimarchi giustamente).
Credo che ora potrei aver detto cose giuste, spero di non sbagliare



Se quindi non ho detto come spero cose sbagliate, posso procedere sull'ultima domanda (azzardando dopo la discussione anche una risposta che mi sono dato)... che era quella che avevo lasciato indietro.

Mi piacerebbe tanto chiederti 3 approfondimenti sulla questione. In questo post metto i primi due per non far venire uno scritto troppo pesante.

Il dubbio era sulla affermazione: "c) se in un intervallo [a,b] una f ammette primitiva F, allora ne ha infinite che differiscono da F di una costante additiva." che discendeva da (a+b):

Da quello che ho capito dopo la tua risposta (assumendo che tutte le funzioni siano definite su un intervallo),

(a) Se $F$ è una fissata primitiva di $f$ e $c$ è una costante, allora $F+c$ è una primitiva di $f$.
(b) Se $F$ e $G$ sono due primitive di $f$, esiste una costante $c$ tale che $G = F+c$.
(c) Se $F$ è una fissata primitiva di $f$ allora l'insieme delle primitive di $f$ è uguale all'insieme delle funzioni del tipo $F+c$ con $c$ costante.

Come dicevo, da (a)+(b) segue (c)

Ebbene, volevo capire come giungeva la considerazione "ne ha infinite".
La risposta che mi sono dato dopo questa discussione è che

Fissiamo una primitiva F di f (su un intervallo). Sia A l'insieme di tutte le funzioni F+c con c costante e B l'insieme di tutte le primitive di f. Il punto (a) ti dice che A è un sottoinsieme di B, mentre il punto (b) ti dice che B è un sottoinsieme di A. Quindi A=B

Avendo A e B uguali e sapendo che gli elementi di A sono infiniti e del tipo $F+c$, concludo che l'affermazione c) è vera. Dato che in pratica afferma che l'insieme B è infinito con elementi F+c (ovvietà essendo A=B).


Ti ringrazio perché mi hai fatto uscire da un dubbio enorme.