Calcolare l'ordine e il prodotto di permutazioni

[alessioben]

Ciao a tutti,
ho due quesiti:
1)
Siano a=(2,4,3) e b=(1,3,4,2) permutazioni in G=Sym 5. Allora l'ordine del sottogruppo di G generato da a,b vale...

Io pensavo che per calcolare l'ordine dovessi fare il mcm tra i due ordini, quindi 3*4=12 , invece è sbagliato.
Cosa mi sfugge?

2)
Siano a=(4,5) e b=(1,5,2)(3,4) permutazioni in G=Sym 5. Scrivere c=ab come prodotto di cicli disgiunti.

Mi incasino quando mi capita di trovare dei cicli in cui ho degli elementi che ho già usato.
Cioè mi risulta (4,2)(5,2)
Qual è il procedimento corretto?

Grazie!

[Martino]

Ciao, il punto (2) è un esercizio base, si tratta di moltiplicare i due elementi $a$ e $b$ ottenendo $c=ab$. Il modo in cui li moltiplichi dipende dalla tua notazione. Se parti da destra, allora hai

$ab = (45)(152)(34) = (14352)$

Per esempio, da destra verso sinistra, $1$ va in $5$ e poi $5$ va in $4$, quindi la composizione manda $1$ in $4$.

Se invece parti da sinistra, allora hai

$ab = (45)(152)(34) = (15342)$

Il punto (1) invece è più difficile. Ti dò alcuni suggerimenti. Chiamiamo $H$ il sottogruppo di Sym(5) generato dagli elementi $a=(243)$, $b=(1342)$.

Suggerimento 1. Osserva che $H$ è contenuto in Sym(4) (perché?).
Suggerimento 2. Per il teorema di Lagrange, l'ordine di $a$ (che è $3$) divide $|H|$ e anche l'ordine di $b$ (che è $4$) divide $|H|$. Quindi $12$ divide $|H|$. D'altra parte, sempre per il teorema di Lagrange, $|H|$ divide l'ordine di Sym(4), che è $4! =24$, e quindi $|H|$ è uguale a $12$ oppure $24$. Sai continuare?

[alessioben]

Per l'es. 2 grazie, mi è stato anche molto utile guardare qui http://web.tiscali.it/algebraastratta/mInsiemi/Permutazioni.htm che hanno spiegato nel dettaglio.

Per l'es. 1 ho capito i vari passaggi che mi hai descritto ma non so come continuare... Lagrange è gia usato così, EuleroFermat non so come potrebbe tornare utile e non saprei altri metodi

[Martino]

Devi mostrare che quello che ho chiamato $H$ (il sottogruppo generato da $a$ e $b$) ha ordine $24$, cioè che $H=S_4$.

Un modo elementare è moltiplicare tutte le potenze di $a$ per tutte le potenze di $b$ ottenendo così $12$ elementi, del tipo $a^i b^j$. Poi cerchi di costruire un tredicesimo elemento usando $a$ e $b$ (per esempio coniugando).

Un altro modo è usare un fatto che dice che l'unico sottogruppo di $S_4$ di indice $2$ è il gruppo alterno $A_4$ (potreste averlo visto a lezione) e osservare che $b$ non sta in $A_4$.

Un altro modo è osservare che se $H$ avesse ordine $12$, avrebbe indice $2$ in $L=S_4$ quindi sarebbe normale in $L$. Segue che $g^2 in H$ per ogni $g in L$ (perché la classe laterale $gH$ ha ordine $1$ oppure $2$ nel quoziente $L//H$ dato che $|L//H|=2$). Ora, è facile determinare la struttura ciclica degli elementi del tipo $g^2$ in $S_4$. Sono $12$ elementi. Siccome $b$ non è di questo tipo, segue che $|H| > 12$.