Algebre di Heyting e relazioni d'ordine

[thedarkhero]

Sia $(H, \wedge, \vee, \rightarrow, \top, \bot)$ un'algebra di Heyting.
Definisco un'operazione di pseudo complemento $-$ su $H$ ponendo $-x = x \rightarrow \bot$.
Ora definisco $\text{reg}(H)=\{x \in H | --x=x\}$.
Definisco $\top_\text{reg}=\top$ e $\bot_\text{reg}=\bot$.
Definisco le operazioni binarie $\wedge_\text{reg}$ e $\vee_\text{reg}$ su $\text{reg}(H)$ ponendo $x \wedge_\text{reg} y = x \wedge y$ e $x \vee_\text{reg} y = - -(x \vee y)$.
Definisco un'operazione unaria $\neg_\text{reg}$ su $\text{reg}(H)$ ponendo $\neg_\text{reg} x = - x$.
Ora $(\text{reg}(H),\wedge_\text{reg},\vee_\text{reg},\neg_\text{reg},\top_\text{reg},\bot_\text{reg})$ è un'algebra di Boole.
Dati $x, y \in \text{reg}(H)$ penso di poter affermare che $x \le_\text{reg} y$ se e solo se $x = x \wedge_\text{reg} y$ se e solo se $x = x \wedge y$ se e solo se $x \le y$, cioè che l'ordine $\le_\text{reg}$ su $\text{reg}(H)$ è semplicemente la restrizione dell'ordine $\le$ (definito su $H$) su $\text{reg}(H)$.
Algebricamente quest'ultimo fatto mi sembra immediato ma intuitivamente non mi convince del tutto che sia valido in quanto $\text{reg}(H)$ non è una sottoalgebra di $H$ (ad esempio perchè $\vee$ e $\vee_\text{reg}$ sono diversi).
Cosa ne pensate?

[megas_archon]

In ogni reticolo algebrico si può definire un ordine ponendo \(x\le y\iff x\land y=x\iff x\lor y=y\), forse quello che non ti convince è l'equivalenza con l'ultima definizione, dato che è cambiato \(\lor_r\)? Del resto restringendosi agli elementi di \(reg(H)\) tutto dovrebbe funzionare, e dovrebbe essere vero che \(x \lor_r y = y \iff x \land_r y=x\), cosa che puoi dimostrare usando l'assorbimento e l'idempotenza delle operazioni, come al solito.

[thedarkhero]

Nell'algebra $H$ si ha che $x \wedge y =x$ se e solo se $x \vee y = y$.
Nell'algebra $H_\text{reg}$ si ha che $x \wedge_\text{reg} y = x$ se e solo se $x \vee_\text{reg} y = y$.

Ma allora deduco che per ogni $x, y \in H_\text{reg}$ si ha che $x \vee_\text{reg} y = y$ se e solo se $x \vee y = y$. Questa è la cosa che mi sembra controintuitiva.

[megas_archon]

La doppia complementazione non è sempre un omomorfismo di algebre.

[thedarkhero]

La doppia complementazione non è sempre un omomorfismo di algebre.

Sono sempre più confuso
Avevo dimostrato che la mappa $\pi: H \to H_\text{reg}$, $\pi(x)=--x$ è un omomorfismo di algebre di Heyting. Mi stai dicendo che invece questo non è vero?

[megas_archon]

E' l'inclusione di \(reg(H)\) in $H$ che non è un omomorfismo, proprio per la differenza nella definizione di \(\lor_r\):

The regular (respectively complemented) elements of any Heyting algebra H constitute a Boolean algebra Hreg (respectively Hcomp), in which the operations ∧, ¬ and →, as well as the constants 0 and 1, coincide with those of H. In the case of Hcomp, the operation ∨ is also the same, hence Hcomp is a subalgebra of H. In general however, Hreg will not be a subalgebra of H, because its join operation ∨reg may be differ from ∨. For x, y ∈ Hreg, we have x ∨reg y = ¬(¬x ∧ ¬y). See below for necessary and sufficient conditions in order for ∨reg to coincide with ∨.

[thedarkhero]

Ah d'accordo, quindi la mappa $\pi: H \to H_\text{reg}$, $\pi(x) = --x$ è omomorfismo di algebre di Heyting mentre l'inclusione $\iota: H_\text{reg} \to H$, $\iota(x)=x$ non è omomorfismo di algebre di Heyting.

Ora fissiamo $x, y \in H_\text{reg}$.
Si ha che $x \le y$ se e solo se $x=x \wedge y$ se e solo se $x=x \wedge_\text{reg} y$ se e solo se $x \le_\text{reg} y$.
Dunque in particolare si ha che $\le_\text{reg}$ è la restrizione di $\le$ su $H_\text{reg}$.
Corretto?

[megas_archon]

Sì, l'ordine sui regolari non può essere altro che la restrizione dell'ordine su $H$. Quello che ti turba mi sembra sia semplicemente questo: dati due elementi regolari \(x,y\) si ha che \(x\lor y = y\) se e solo se \(x\lor_r y=y\), anche se le operazioni sono diverse (cioè: la doppia negazione \(\lnot\lnot\) è un operatore di chiusura su $H$, che non è banale: in generale, si ha solo che \(a\le \lnot\lnot a\) per ogni $a$, e quindi \(x\lor y \lneq x\lor_r y\) in generale). Questa è un'ovvietà che ti invito a verificare per conto tuo.

Una volta mostrato questo, data una generica algebra di Heyting, puoi formulare le condizioni seguenti:

- \(x\le y\)
- \(x\lor y = y\)
- \(x\land y = x\)
- \(x\lor_r y = y\)
- \(x\land_r y = x\)

le prime tre sono tutte equivalenti in qualsiasi reticolo algebrico (cioè non c'è niente di specifico ad un'algebra di Heyting); le ultime due condizioni sono equivalenti a ciascun altra quando $x,y$ sono presi regolari.

[thedarkhero]

Chiarissimo, grazie mille!