Delucidazioni su concetti legati agli anelli, corpi e campi

[paolo1712]

Salve ragazzi, potreste aiutarmi a chiarire alcuni dubbi e/o curiosità sugli anelli?

1) Tra le varie proprietà degli anelli si configura la seguente proposizione: Se l'anello A è unitario, allora l'elemento uno è unico. Questo implica che un anello non unitario può avere più elementi uno (intesi come elementi neutri per il prodotto) ? Però l'elemento neutro se esiste è unico, ergo un anello non unitario può ammettere elementi uno ma non sono elementi neutro rispetto al prodotto?

2)Questa è più una curiosità. Nell'anello banale $X={x}$ si ha che l'elemento neutro è sia elemento zero che uno. Con una piccola nota ho scritto che l'anello banale è anche un anello rispetto al prodotto. Ha senso come definizione?

3) In maniera analoga, in merito alle nozioni di invertibilità a sinistra e destra, si ha che in un anello non nullo lo zero non è mai invertibile, fatta eccezione per l'anello banale. Sempre come nota ho scritto che anche il gruppo ${0,1}$ fa eccezione, poiché $1+1=0$ (1 è simmetrico di se stesso). Però questo insieme non è un gruppo. Non gode dell'esistenza del simmetrico che è poi quella su cui si costruisce l'affermazione dell'invertibilità dello 0. Giusto? Allora da dove l'ho tirato fuori questo esempio?

4) Gli anelli non unitari sono gli unici che ammettono divisori dello zero?

5) un elemento regolare non è necessariamente invertibile? Ed è il motivo per cui $ZZ$ è un dominio di integrità ma non un campo. Giusto?

6) Un anello che ammette divisori dello zero, può essere dotato delle leggi di cancellabilità rispetto al prodotto? L'esistenza dei divisori dello zero non esclude la presenza di elementi regolari. Giusto?

Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!

[megas_archon]

1. Questo non ha molto senso: un anello "non unitario" non ha un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione proprio perché è non unitario. Può avere degli uno "destri", cioè per ogni $a$ si ha che \(a\cdot 1_r=a\), ma esiste un $x$ tale che \(1_r \cdot x\ne x\), o degli uno "sinistri", cioè succede la stessa cosa ma a lati invertiti: per ogni $a$, si ha che \(1_l\cdot a=a\), ma esiste \(x\) tale che \(x\cdot 1_l\ne x\). In generale, se c'è un identità destra, ce ne possono essere tante. Se ce n'è una sinistra, ce ne possono essere tante. Se ce n'è una destra e una sinistra, coincidono: usa la proprietà su \(1_l\cdot 1_r\), che è uguale a entrambi.

2. C'è solo una definizione possibile di anello banale, quindi ha senso per forza (ma non è veramente chiaro cosa vuoi definire).

3. Non si capisce cosa stai chiedendo. Gruppi, anelli, somme, prodotti...

4. No, questo è falsissimo.

5. Un elemento regolare non è invertibile rispetto a che definizione di "regolare"? Von Neumann regolare, mi aspetto.

6. Anche qui non è chiaro cosa stai cercando di definire: un analogo di campo, però per semianelli? Un analogo di campo, per anelli non unitari, cioè una struttura che ha due operazioni \(+,\cdot\), con la moltiplicazione che distribuisce su +, senza un'identità moltiplicativa, ma tutti gli elementi sono regolari? Non ricordo se queste strutture abbiano un nome. Sono abbastanza sicuro siano studiate.

[paolo1712]

Grazie per la risposta e perdona la generica confusione. Riformulo un po' tutto.
2) Parlavo della definizione di anello rispetto al prodotto. La definizione di anello è costruita su un gruppo additivo abeliano. Dire che è un anello rispetto al prodotto è corretto? Tralasciando il fatto che sia l'unico anello rispetto al prodotto.
3)Non credo sia chiaro nemmeno a me perché è una nota che ho scritto. Probabilmente volevo intendere l'anello costruito sul gruppo ${0,1}$ però per me non ha senso e volevo conferma.
4) Esistono anelli unitari che ammettono divisori dello zero? L'anello banale? Perché so che in un anello unitario non nullo ogni elemento invertibile è regolare.
5) Per regolare intendo un elemento che non è un divisore dello zero.
6)Non ho studiato i semianelli, semigruppi e strutture simili. Banalmente volevo sapere se esistono anelli che ammettono contemporaneamente, elementi regolari e divisori dello zero.

[megas_archon]

Secondo me stai facendo molta confusione con le definizioni.

Dire che è un anello rispetto al prodotto è corretto?

Non lo reputo corretto, perché "è un anello" sottintende due operazioni. Ed è possibile (succede spesso) che la stessa struttura di gruppo abeliano rispetto alla somma supporti poi differenti operazioni di moltiplicazione, che rendono la struttura risultante un anello in modi diversi tra loro.

Esistono anelli unitari che ammettono divisori dello zero?

Qui è dove credo tu abbia la confusione più grande. Sì, tantissimi. Nell'anello delle classi di resto modulo 4, 2 è un divisore dello zero, perché \(2^2=0\). il fatto che "in un anello unitario non nullo ogni elemento invertibile è regolare" è vero, ma non ha minimamente l'effetto di prevenire l'esistenza di divisori dello zero o di idempotenti.

Probabilmente volevo intendere l'anello costruito sul gruppo

sospetto che l'unica struttura di anello non banale su un insieme con due elementi lo renda isomorfo a \(\mathbb Z/2\mathbb Z\), ma non ho controllato (fallo tu, è un divertente esercizio).

[paolo1712]

Il fatto è che non ho ancora studiato alcune cose di cui parli. Classi di resto modulo e i relativi omomorfismi. Però chiaramente non avendo controesempi, sorgono i dubbi.
Grazie ancora