Anelli esercizi

[HxH]

ciao, come mi è stato consigliato inserisco alcuni esercizi che non ho capito.
Per il momento ne inserisco 3 che non capisco.

1) $R$ anello. Una serie di potenze formali $\sum_{i=0}^{\infty}a_iX^i$ è unità sse $a_0$ è unità di $R$.

(=>) è ovvia per me, ma (<=) non la riesco a capire.


2) $R$ anello. L'insieme $A = {a\inR | \exists n\in \mathbb{N} \ \ t.c. \ a^n = 0}$ definisce un ideale di $R$

A me risulta che $A$ è un sottogruppo additivo di $R$. Ma che un elemento di $R$ moltiplicato per un elemento di $A$ mi dia un elemento di $A$ senza tirare in ballo la proprietà commutativa non riesco a dimostrarlo.

In sostanza non so come fare $(ab)^m = a^mb^m$ senza la proprietà commutativa.

3) $K$ campo. Si trovino tutti gli ideali dell'anello delle serie di potenze formali $K[X]$.

Non capisco cosa devo fare, io credo che così facendo $K[X]$ diventi un campo e che allora gli ideali sono solo $(0)$ e $(K[X])$ ma come per l'esercizio 1 non riesco a trovare l'inverso moltiplicativo.

[megas_archon]

ciao, come mi è stato consigliato inserisco alcuni esercizi che non ho capito.
Per il momento ne inserisco 3 che non capisco.

1) $R$ anello. Una serie di potenze formali $\sum_{i=0}^{\infty}a_iX^i$ è unità sse $a_0$ è unità di $R$.

(=>) è ovvia per me, ma (<=) non la riesco a capire.

Supponendo che $a_0$ sia un'unità di $R$, devi risolvere un certo sistema lineare a infinite equazioni, che esprime i coefficienti di \(f^{-1}=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\) in termini dei coefficienti di \(f = \sum_{n\ge 0}a_nX^n\):
\[\begin{cases} a_0b_0=1\\ a_0b_1 + a_1b_0 = 0\\\dots\end{cases}\] e in generale \(\sum_{i+j=k}a_ib_j=0\), sistema che puoi risolvere solo perché hai determinato tutti i \(b_1,\dots,b_{k-1}\) al passo precedente.

2) $R$ anello. L'insieme $A = {a\inR | \exists n\in \mathbb{N} \ \ t.c. \ a^n = 0}$ definisce un ideale di $R$

L'anello deve infatti essere commutativo, non penso sia un ideale per anelli non commutativi.

3) $K$ campo. Si trovino tutti gli ideali dell'anello delle serie di potenze formali $K[X]$.

Non capisco cosa devo fare, io credo che così facendo

"così" facendo, così come? Puoi certamente trovare alcuni ideali di \(K[\![ X]\!]\). Usando il punto 1, se $J$ è un ideale proprio, ...

[HxH]

Ciao

Il primo esercizio allora non si potrà mai ottenere l'inverso anche se posso dire che se $a_0$ è invertibile allora la serie è invertibile.

Mi immaginavo qualche trucco come la serie $1 + X + X^2 + ... $ che ha inverso $1 - X$.



Per quanto riguarda il terzo esercizio, io ho pensato che se ogni elemento è unità, allora ogni elemento ha inverso e dunque anche l'anello delle serie è un campo

[megas_archon]

Ciao

Il primo esercizio allora non si potrà mai ottenere l'inverso anche se posso dire che se $a_0$ è invertibile allora la serie è invertibile.

Beh, questo non è per niente quel che ho detto. (Ho capito cosa vuoi dire, ma ragionare a questa maniera è sbagliato: quello che ti ho spiegato è esattamente il modo di "ottenere" l'inverso).

Per quanto riguarda il terzo esercizio, io ho pensato che se ogni elemento è unità, allora ogni elemento ha inverso e dunque anche l'anello delle serie è un campo

questo ha ancora meno senso. Non è quello che ti è stato chiesto, non si capisce da dove venga fuori.

[HxH]

Ciao

Il primo esercizio allora non si potrà mai ottenere l'inverso anche se posso dire che se $a_0$ è invertibile allora la serie è invertibile.

Beh, questo non è per niente quel che ho detto. (Ho capito cosa vuoi dire, ma ragionare a questa maniera è sbagliato: quello che ti ho spiegato è esattamente il modo di "ottenere" l'inverso).

ok

Per quanto riguarda il terzo esercizio, io ho pensato che se ogni elemento è unità, allora ogni elemento ha inverso e dunque anche l'anello delle serie è un campo

questo ha ancora meno senso. Non è quello che ti è stato chiesto, non si capisce da dove venga fuori.

Beh nella parte di teoria del mio libro viene detto che gli unici ideali di un campo sono quello nullo e il campo stesso, se so che in un campo $a_i$ è sempre invertibile ho che unito all'esercizio 1 anche l'anello delle serie di potenze su un campo è un campo e dunque gli unici ideali sono (0) e (K[X])

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Beh nella parte di teoria del mio libro viene detto che gli unici ideali di un campo sono quello nullo e il campo stesso, se so che in un campo $a_i$ è sempre invertibile ho che unito all'esercizio 1 anche l'anello delle serie di potenze su un campo è un campo e dunque gli unici ideali sono (0) e (K[X])

Mi dispiace ripetermi, ma quello che dici non ha assolutamente alcun senso. Gli ideali di \(K[\![X]\!]\) (la parentesi quadra grassa è importante, \(K[X]\) sono i polinomi) sono pochi, ma molti più di due -altrimenti, dando retta a quel che dici tu, cioè che \(K[\![X]\!]\) è un campo, fammi vedere l'inverso di \(X^{2024}\).

(C'è poi anche un fatto terminologico, che \(K[\![X]\!]\) si chiama l'anello delle serie, non il campo delle serie, del resto questa non è una dimostrazione ma una tattica da avvocati.)

[megas_archon]

Quello che dici ha ancora meno senso dato che è in aperta contraddizione con il risultato che hai dimostrato per primo, o per meglio dire che ti ho dimostrato io e che tu hai solo dimostrato di non avere compreso.

Un elemento di \(K[\![X]\!]\) è un'unità se e solo se ha ordine zero, intendendo con l'ordine di una serie formale \(f\) il minimo degli indici dei suoi coefficienti non nulli. Detto questo, ci sono un sacco di elementi di \(f\) che non hanno ordine zero: \((X),(X^6), (X-2x+3X^3-4X^4+\dots),(X+X^{10}+X^{1001}+\dots + X^{10^{2n+1}+1}\dots),(X^3+X^6+X^9+X^{33}+X^{66} + \dots + X^{10^n+3} + \dots)\dots\)

Cosa accomuna tutti (gli ideali generati da) questi elementi?

[HxH]

Eccomi

$a_0 = 0$

[megas_archon]

Sono convinto tu possa dirlo in maniera migliore.