dubbio implicazioni logiche

[paolo1712]

Salve a tutti. Mi sto impelagando sulla lettura di alcuni appunti in cui le implicazioni vengono chiamate come "se" e "solo se". Il problema è che non capisco quale verso dell'implicazione indichino perché, a parer mio, almeno nei due esempi che sto per portarvi, vengono usate in modi differenti.
Gli esempi sono i seguenti:
1) In un anello commutativo unitario $A$, $\forall a \in A$, e per ogni elemento invertibile $u \in A$, $a$ e $au$ sono associati. In un dominio di integrità vale il viceversa.
Segue la proposizione:
Sia $A$ un dominio di integrità, siano $a,b \in A$. Allora $a$ e $b$ sono associati se e solo se esiste un elemento invertibile $u \in A$ tale che $b=au$.
Dimostrazione: Alla luce della prima affermazione, basta dimostrare il "solo se". Siano dunque $a$ e $b$ associati. Allora esistono $q,q'\in A$ tali che $a=bq, b=aq'$ da cui $b=(bq)q'=b(qq')$. Se $b=0$ allora $a=0$ e la tesi è verificata per $u=1$. Altrimenti $b$ è un elemento regolare (non divisore dello zero) e quindi cancellabile. Allora essendo $b1=b(qq')$ segue che $1=qq'$. Ciò dimostra che $q'$ è invertibile.

Da ciò io deduco che il "solo se" è l'implicazione da sinistra a destra $rArr$

2)Due numeri interi si dicono coprimi se gli unici loro divisori comuni sono $1$ e $-1$.
Segue il corollario:
Siano $a,b\in ZZ$ non entrambi nulli. Allora $a$ e $b$ sono coprimi se e solo se $MCD(a,b)=1$.
Dimostrazione: Il "solo se" è banale conseguenza della definizione. Per il "se" basta osservare che, se $1$ è un massimo comune divisore di due interi, allora ogni divisore comune di questi interi divide $1$, ed è quindi uguale ad 1 o -1.

Da ciò io deduco che il "solo se" è l'implicazione da destra a sinistra $lArr $

E' un errore o sto sbagliando ad interpretare le affermazioni?

C'è anche un terzo esempio che vi porto perché magari può essere stato effettivamente un errore della professoressa (anche se dubito)
3) Sia $A$ commutativo, unitario, integro e non nullo (dominio di integrità, quindi). Un elemento di $A[X]$ (l'insieme dei polinomi nell'indeterminata X a coefficienti nell'anello $A$) è invertibile se e solo se è costante e invertibile in $A$.
Dopo dice: Il "se" del corollario è valido per ogni anello commutativo $A$. Il "solo se" invece, in generale non vale se $A$ non è integro. Lo dimostra con un controesempio, scegliendo $A=ZZ_4$ e un polinomio non costante però invertibile che ha come inverso se stesso.

Vi ringrazio per il vostro tempo

[axpgn]

Ma, sostanzialmente, cosa ti cambia? Son sempre due implicazioni da dimostrare ...

[paolo1712]

Praticamente nulla, però vorrei capire che cosa intende. Non vorrei ritrovarmi all'esame dovendo magari dimostrare una sola implicazione di qualche lemma o altro, sulla base di "se" e "solo se".

[Martino]

La struttura della doppia implicazione è

"A se e solo se B"

Il "se" corrisponde a \( \displaystyle A \Leftarrow B \) , cioè "A se B" è equivalente a "se B allora A".

Il "solo se" corrisponde a $A => B$, cioè "A solo se B" è equivalente a "se A allora B".

Per esempio

"se piove prendo l'ombrello"

è equivalente a

"piove solo se prendo l'ombrello".

[paolo1712]

Ti ringrazio!