Scomposizione numeri razionali nei reciproci dei naturali

[bub]

Buongiorno volevo chiedervi se sapete perché vale questa proprietà, se vale, perché non ne sono sicuro.
Preso un numero razionale $0< x <1$ si può scomporre sicuramente in una somma finita di numeri $1 / n$ tutti diversi tra loro con $n$ naturale maggiore di $1$.

Ora però ho visto che sembra si possa fare di più.
Dato un numero razionale $0 < x < 1$ si può scomporre in una somma
$x = 1/n_0 + 1/n_1 + ... + 1/n_m$ con $n_0, ... , n_m$ naturali tutti diversi tra loro dove

$1/n_0 = max{1/n | (x - 1/n) >= 0 \and n > 1 \and n in N}$
$1/n_1 = max{1/n | (x - 1/n_0 - 1/n) >= 0 \and n > 1 \and n in N}$
$1/n_2 = max{1/n | (x - 1/n_0 - 1/n_1 - 1/n) >= 0 \and n > 1 \and n in N}$
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$1/n_m = max{1/n | (x - 1/n_0 - 1/n_1 - ... - 1/n_(m-1) - 1/n) >= 0 \and n > 1 \and n in N}$

In pratica si prende un razionale $0<x<1$ e si cerca la frazione più grande $1/n_0$ tale che la differenza tra $x - 1/n_0$ sia positiva o nulla e si prosegue con $x - 1/n_0 - 1/n_1$ cercando la frazione $1/n_1$ maggiore che rende quella quantità non negativa... prima o poi si troverà un $1/n_m$ per cui la somma sarà uguale a $0$.

Facciamo un esempio...

fissiamo $x = 3/7$
$3/7 - 1/2 < 0$
$3/7 - 1/3 > 0$
$3/7 - 1/3 - 1/4 < 0$
$3/7 - 1/3 - 1/5 < 0$
...
$3/7 - 1/3 - 1/10<0$
$3/7 - 1/3 - 1/11>0$
$3/7 - 1/3 - 1/11 - 1/12<0$
$3/7 - 1/3 - 1/11 - 1/13<0$
...
$3/7 - 1/3 - 1/11 - 1/230<0$
$3/7 - 1/3 - 1/11 - 1/231 = 0$

$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231$

Spero di essere riuscito a spiegarmi e di non aver commesso errori.
Perché questo sistema porta ad annullare la somma?
Capita sempre per ogni razionale $0<x<1$ o ci sono casi in cui il procedimento può andare avanti all'infinito senza mai arrestarsi raggiungendo $0$?

[axpgn]

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[bub]

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Grazie axpgn
Ho trovato quello che cercavo, i numeratori decrescono per questo si arriva a 0.