Esercizi svolti di algebra sui polinomi

[paolo1712]

Ciao a tutti. Stavo dando uno sguardo alle tracce di esame e ci sono alcuni esercizi sui polinomi che non mi è chiaro come risolvere.
Premetto che ho spulciato tutti (o giù di lì) gli esercizi sui polinomi presenti sulla raccolta del professor Campanella ma non ho trovato nulla. Gli esercizi sono tipo il seguente:
Dato un numero primo positivo $p$, si considerino i seguenti polinomi in $ZZ_p [x]$
$f(x)=x^(p^2)+x^p+x+ bar(1)$
$g(x)=bar(7)x^(p^2)+bar(5)x^p+bar(3)x+bar(2)$
$h(x)=bar(2)x^(p^2)+x^p+bar(1)$
a) Determinare, al variare di $p$, il numero delle radici comuni a $f(x) " e " g(x)$ in $ZZ_p$.
b) Determinare tutti i fattori lineari di $f(x)-h(x)$ in $ZZ_p[x]$
Ho già svolto esercizi sulla riduzione dei polinomi in $ZZ[X], QQ[X], ZZ_p[X]$, calcolo degli inversi nei campi $ZZ_p[X] "/" f$, riduzioni modulo n, criterio di Einstein ecc. Però esercizi in cui sfruttare la funzione di Eulero o il piccolo teorema di Fermat non ne ho e non ne ho trovati e, di fatto, non so come applicarli (ammesso subentrino in questo tipo di esercizi).

Quello che vorrei sapere è se qualcuno possiede delle dispense con esercizi svolti di questo tipo e se può gentilmente condividerle. O se sapete dove posso trovare qualcosa di simile. Vi ringrazio

[hydro]

Non serve avere degli esercizi svolti, basta ragionare. Devi chiederti: che cos'è una radice di un polinomio $f\in K[x]$ in $K$? E' semplicemente un elemento $y\in K$ tale che $f(y)=0$. Adesso prendi $f=x^{p^2}+x^p+x+1$ e \(K=\mathbb Z/p\mathbb Z\). Sia $y\in K$ una radice di $f$. Allora $y^{p^2}+y^p+y+1=0$. Ma il piccolo teorema di Fermat ti dice che $y^p=y$, e quindi anche $y^{p^2}=y$. Beh ma allora dev'essere $3y+1=0$. Sai proseguire da qui?

[paolo1712]

Non ho capito perché anche $y^(p^2)=y$, $p^2$ non è più un numero primo.
Poi il risultato delle somme che scrivi non dovrebbe dipendere da $p$?

Comunque dovrei risolvere la congruenza lineare $3y-= -1 (mod p)$. Sono certo ammetta soluzione perché $d:=MCD(3,p)=1 \forall p\in ZZ$.
Detta $y_0$ una soluzione particolare, le soluzioni sono tutti e soli i numeri interi $y_k=y_0+p*k$. Però poiché $d:=MCD(3,p)=1$ questa ammette un'unica soluzione.
Una particolare soluzione si può determinare risolvendo la seguente identità di Bézout $3/d *s +p/d *t =1 \hArr 3*s+p*t=1$ e si prende $y_0=-1*s$.
Dato che dipende dal numero primo $p$ dovrei scrivere un insieme di soluzioni A però non so come. Poi in modo analogo farlo con $g(x)$, trovando B e infine calcolare $A cap B$ ?

Oppure ancora potrei costruire un sistema tra $3y-=-1$ e la congruenza lineare che ricavo da $g(x)$ e sfruttare il teorema cinese del resto?

[megas_archon]

Non ho capito perché anche $y^(p^2)=y$, $p^2$ non è più un numero primo.

\(y^{p^2} = (y^p)^p=y^p=y\).

[paolo1712]

Ok quindi dovrei risolvere il sistema di congruenze lineari:
${ ( 3y-=-1 mod p),( 15y-=-2 mod p):}$
Come si risolve se varia nel modulo?
I moduli non dovrebbero essere coprimi per poter applicare il teorema cinese del resto?

[hydro]

Di nuovo, basta fermarsi un attimo, fare un respiro profondo e pensare. Se $3y=-1\mod p$, allora moltiplicando tutto per 5 si trova $15y=-5\mod p$. Adesso concludere dovrebbe essere semplice, no? il teorema cinese del resto non serve a nulla qua…

[paolo1712]

Ma come faccio a valutarlo se non conosco il modulo? E perché moltiplicare per 5?
Devo trovare un $y$ tale che $p|15y+5$ ovvero deve esistere un $k \in ZZ " t.c. " 15y+5= k*p$ ?

[hydro]

Se $15y=-5\mod p$ e $15y=-2\mod p$ allora $-5=-2\mod p$. Il che significa che $p$ divide $3$. Non ci sono molti primi che dividono $3$, non credi?

[paolo1712]

Giusto, avevo dimenticato fosse una relazione di equivalenza.
Per il punto b)
Mi si chiede di trovare i fattori lineari di $f(x)-h(x)=x^(p^2)+x^p+x+bar(1) -(bar(2)x^(p^2)+x^p+bar(1))= -x^(p^2)+x=x(bar(1)-x^(p^2-1))$ Quindi l'unico fattore lineare è $x, \forall p in ZZ$ con $p$ numero primo ?