Indico con $\gamma$ la topologia su $ RR$ definita come l'unione di intervalli aperti di $RR$, cioè
$\gamma:={A\ | \ A=bigcup_{i \in I}(a_i,b_i), a_i, b_i \in RR, \ \forall i \in I} $
Ho la seguente caratterizzazione
$A in \gamma <=> \forall x \in A \ \exists a,b \in RR \ : \ x \in (a,b)\subsetA.$
Devo verificare che l'insieme $\emptyset $ e tutto $ RR$ appartengono alla famiglia.
Sia $x \in \RR$ allora, esistono due numeri reali $a,b$ tali che $a<x<b$, pertanto $x in (a,b)subsetRR$, dalla caratterizzazione segue l'appartenenza.
Sempre seguendo la caratterizzazione, ho $ \emptyset \in \gamma <=> \forall x \in \emptyset \ \exists a,b \in RR \ : \ x \in (a,b)\subset\emptyset $, dal momento che l'insieme vuoto è privo di elementi, allora non esiste nessun elemento $x$ tale per cui esso risulta essere contenuto in $(a,b)$ , con $\forall a,b \in RR$
Ho due dubbi:
1. Quando affermo che esistono due numeri reali $a,b$, perché è conseguenza dell'assioma di completezza ?
2. Non sono sicuro di essere corretta
Grazie anticipatamente .
Ciao