Insieme $I_n$

[pantagruele]

@Martino: non ho spiegato di nuovo bene vero? Volevo provare a correggermi e chiarirmi riassumendo.

La domanda che mi ponevo su $bigcup_(i) A_i, i in NN$ (*) è se è da leggersi come:

1) $bigcup_(i=1)^oo A_i$

2) oppure, ecco il dubbio: essendo che $i$ è un numero nei naturali e sappiamo che $i!=oo$ dato che oo non è un numero, allora mi dicevo, scrivendo (*) io affibio a $i$ un certo valore da 1,2,3.... fino a un $i=n$ ma $n!=oo$ quindi non può rappresentare una unione infinita la (*) perché corre sui numeri reali e infinito non ne fa parte.

[Martino]

Non si scrive mai $bigcup_i A_i, i in NN$. Si scrive invece

(1) $bigcup_(i in NN) A_i$

oppure

(2) $bigcup_(i=1)^(oo) A_i$

e (1), (2) sono equivalenti.

[megas_archon]

Non si scrive mai $bigcup_i A_i, i in NN$. Si scrive invece

(1) $bigcup_(i in NN) A_i$

oppure

(2) $bigcup_(i=1)^(oo) A_i$

e (1), (2) sono equivalenti.

Beh, si può scrivere anche \(\bigcup \{A_i\mid i\in\mathbb N\}\), che è circa la stessa cosa (e in effetti è persino più formale, perché \(\bigcup : Set^{\mathbb N}\to Set\) è definito sulle famiglie di insiemi [e più in generale, \(\bigcup : Set^I \to Set\) dipende dall'insieme di indici $I$, ma accetta una famiglia indicizzata da $I$ -uno dovrebbe scrivere \(\bigcup_I\{A_i\mid i\in I\}\) in generale, che sarebbe completamente esplicito, ma non si fa mai perché "ci capiamo"], e tale è \(\{A_i\mid i\in\mathbb N\}\).

Il problema penso che sia che OP è convint@ che quando uno fa un unione di insiemi la faccia "fino a un certo punto, e poi si fermi": e dato che questo punto non arriva mai se si sommano tra loro una quantità infinita di insiemi, cosa diavolo è \(\bigcup\{A_i\mid i\in\mathbb N\}\)?

[pantagruele]

Sì, credo il mio errore sia quello evidenziato da megas_archon, la mia idea era che scrivere: $bigcup_(i in NN) A_i$ volesse dire $bigcup_(i=1)^n A_i$; nel senso che io scelgo sempre un $i=n!=oo$, $n in NN$ di "arresto" (però mi dite che ciò è errato appunto).

Mentre capivo bene la convenzione di scrittura: $bigcup_(i=1)^oo A_i$, come unione infinita.

[Martino]

Ok quindi adesso è tutto chiaro giusto?

[pantagruele]

Sì è più chiaro nel senso che ho capito tutti i casi elencati

Devo dire che devo ancora digerire bene perché $bigcup_(i in NN) A_i$ sia una somma infinita, scritta così come notazione. Mi viene sempre da prenderla con una "i" in cui si arresta prima o poi, dato che varia nei naturali immagino che i debba assumere un valore in N e N non contiene infinito come numero. Parlo a livello di intuito, sebbene mi sia chiaro che mi avete detto che non è così e d'ora in poi saprò che è una somma infinita (cosa che prima non sapevo e mi creava confusioni nella lettura del libro).

Per gli altri non ho più nemmeno un minimo dubbio, di fatto nemmeno su questa perché come dicevo ora so cosa vuol dire. Anche se non comprendo appieno perché sia una somma infinita.

[Martino]

Non è una somma infinita, è un'unione infinita. Cosa c'entra la somma? Sai cosa significa unione di insiemi? Dire che un elemento $x$ appartiene all'unione $bigcup_(i in I) A_i$ significa che esiste $i in I$ tale che $x in A_i$.

Prova a farti degli esempi. Scegliamo per esempio $A_i = {i}$ per ogni $i in NN$. Allora $bigcup_(i in NN) A_i = NN$, concordi?

Analogamente se scegliamo $A_i = {1,...,i}$ per ogni $i in NN$ allora anche in questo caso $bigcup_(i in NN) A_i = NN$, concordi? Solo che stavolta l'unione non è disgiunta.

Potremmo anche scegliere $A_i = {1,2,3}$ per ogni $i in NN$. In questo caso $bigcup_(i in NN) A_i = {1,2,3}$.

Potremmo anche scegliere $A_i = {2^i}$ per ogni $i in NN$. In questo caso $bigcup_(i in NN) A_i$ è uguale all'insieme di tutte le potenze di $2$.

[pantagruele]

Purtroppo è un lapsus di scrittura ma non di concetto, perché conosco la differenza tra sommatoria e unione per questo caso intendevo unioni.

Sono pienamente d'accordo su quello che hai illustrato e mi sono esempi chiari, ci ho riflettutto nel leggerli e non trovo problemi nel comprenderli.

In realtà data la svista si era capito male quello che volevo dire:

Devo dire che devo ancora digerire bene perché $bigcup_(i in NN) A_i$ sia una unione infinita, scritta così come notazione. Mi viene sempre da prenderla con una "i" nei naturali, quindi è un valore numerico, dato che varia nei naturali immagino che i debba assumere un valore in N e N non contiene infinito come numero. Parlo a livello di intuito, sebbene mi sia chiaro che mi avete detto che non è così e d'ora in poi saprò che è una unione infinita (cosa che prima non sapevo e mi creava confusioni nella lettura del libro).

Il mio dubbio era puramente notazionale, nel senso che ogni volta che scelgo un "i" di fatto ha un valore che non raggiunge mai "infinito" come numero, e quindi fatico a vedere perché sia equivalente a $bigcup_(i=1)^oo A_i$

In sostanza immagino i che viene scelto dentro i naturali, qualunque i scelga non è mai infintio, perché i sarà 1, sarà 2, sarà n, sarà n+1 sarà n+m sarà.... ma mai $i=oo$, è questo che mi confonde.

[Martino]

Ok ma la scrittura $bigcup_(i=1)^(oo) A_i$ è solo una notazione, non significa che $i$ assume tra gli altri il valore $oo$. Significa solo che $i$ percorre tutti i numeri naturali. E' solo una notazione. Mi sembra che le cose adesso ti siano abbastanza chiare.

[pantagruele]

Sì, certo, accettandola così dopo le tue/vostre spiegazioni la capisco.

Mi confondeva ma in effetti mi hai fatto riflettere con il tuo ultimo post sul fatto che $bigcup_(i in NN) A_i:={x|∃A_i : x in A_i}={x|∃i in NN : x in A_i}$ e quindi quel cavolo di oo mi mandava in pappa ma è solo notazionale e non ha senso vero e proprio. Però si, direi che ora ci sono dopo la tua spiegazione

grazie ^^