Insieme $I_n$

[pantagruele]

Ciaoa a tutti. nelle prime pagine del libro mi si definisce un insimee I_n={1,..n} per ogni n in N.

Mi chiedevo però se era da intendere anche come infinito, in effetti il concetto oo non esiste come "punto" nei naturali, quindi se ho ben intenso I_n è un qualcisasi insieme finito (mai infinito) di naturali, cioè in sottoinsieme finito di N?

Grazie

[megas_archon]

Sì

[pantagruele]

Grazie mille, il dubbio mi era venuto perché spesso si usa

$∪_iA_i, i in I_n$, in tal caso è per quanto detto evidentemente una unione finita (per il motivo suddetto che n=oo non esiste propriamente ed è del tutto insensato)

Mentre se scrivo $∪_iA_i, i in NN$ intendo di solito unione infinita, riflettendoci avevo pensato "infinita" nel senso che n varia in tutto N (infinito numerabile), non tanto perché esista un n=oo ma piuttosto perché intendo che prendo un qualsiasi naturale. Il fatto però è che qua mi incasino coi concetti perché mi viene da dire: "si ma n lo fisso di volta in volta e quindi come fa a essere una unione infinita se n=oo è insensato?" Mi pare sempre finita (come nel caso 1).

[pantagruele]

Nessun ulteriore aiuto? volevo davvero capire questa cosetta

[megas_archon]

E' che non si capisce cosa vuoi capire.

[Martino]

Non si capisce il tuo dubbio, nel secondo caso è un'unione infinita, e quindi? È un'unione di una famiglia infinita di insiemi. La notazione che si usa di solito è

$bigcup_(i in NN) A_i$

e più in generale se hai un insieme $I$ di indici puoi scrivere

$bigcup_(i in I) A_i$

L'insieme $I$ può essere finito o infinito, come preferisci. Se $I={1,...,n}$ allora puoi scrivere anche

$bigcup_(i=1)^n A_i$

Di solito la scrittura

$bigcup_(i=1)^(oo) A_i$

indica un'unione infinita dove è da intendersi che $i$ varia in $NN$. È solo una notazione. In altre parole

$bigcup_(i=1)^(oo) A_i = bigcup_(i in NN) A_i$

dove naturalmente intendo che $NN$ è l'insieme di tutti i numeri naturali a partire da $1$.

[pantagruele]

Grazie per le risposte.

Il mio dubbio in realtà è solo notazionale e non così profondo. Riesco a capire una "unione infinita" e non mi disturba, però non capisco perché notazionalmente sia corretto provo a spiegarmi.

$N$ è finito numerabile, però $oo!inNN$, insomma infinito non è da intendersi come concetto di numero.

Quindi quando scrivo $I_n={1,....,n}$ non capisco perché possa essere infinito se do un "n" di termine chiamiamolo così. Ho un insieme finito per me $n!oo$ sempre. Da quanto diceva megas_ mi pareva di capire fosse corretto invece sbaglio $I_n$ può essere infinito?

L'altro dubbio è simile: $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ dovrebbe essere equivalente a $bigcup_(i=1)^oo A_i$, ma di nuovo quando nella prima delle due pongo $i in NN$ io immagino un "n" di "fine unione" ma n non esiste come infinito quindi non capisco come possa quella notazione funzionare e sommare a infinito.

[Martino]

Continuo a non capire i tuoi dubbi.

$NN$ è finito numerabile, però $oo!inNN$, insomma infinito non è da intendersi come concetto di numero.

Esatto.

Quindi quando scrivo $I_n={1,....,n}$ non capisco perché possa essere infinito

L'insieme $I_n$ è finito, NON è infinito. Come ti viene in mente che possa essere infinito?

L'altro dubbio è simile: $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ dovrebbe essere equivalente a $bigcup_(i=1)^oo A_i$

Assolutamente no, sono due cose diversissime.
$bigcup_(i=1)^n A_i$ è uguale all'unione FINITA $A_1 uu ... uu A_n$,
$bigcup_(i=1)^oo A_i$ è uguale all'unione INFINITA $A_1 uu A_2 uu A_3 uu ...$ (dove i puntini a destra stanno ad indicare che devi andare avanti indefinitamente).

La scrittura $bigcup_(i=1)^oo A_i$ è solo una notazione (solo una notazione!) per indicare che stai facendo un'unione infinita di tutti gli $A_i$ con $i in NN$, non è da considerarsi un caso particolare di $bigcup_(i=1)^n A_i$, che invece è un'unione finita.

[pantagruele]

Ciao e grazie, scrivo il messaggio solo per conferma ma mi pare ora tutto tornare e aver capito dove avevo preso degli abbagli grazie alla tua risposta. Vediamo:

L'insieme $I_n$ è finito, NON è infinito. Come ti viene in mente che possa essere infinito?

In effetti inizialmente pensavo fosse finito. ma poi credo di aver travisato la tua prima risposta:

L'insieme $I$ può essere finito o infinito, come preferisci. Se $I={1,...,n}$

L'avevo intesa come $I:=I_n={1,...,n}$ e che dicessi $I=I_n$ può essere infinito.
Invece credo intendessi I può essere finito o infinito, quando $I_n={1,...n}$ è finito di n termini.
OK

Assolutamente no, sono due cose diversissime.

Ok, $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ è finita e non è da intendersi come unione su infinite. Pensavo che essendo n preso in N si volesse intendere "nell'insieme infinito" ma poi non mi ritrovavo con la notazione dato che $n !in NN$ e da qui figliavano gli altri dubbi.


Infine posso ora digerire $bigcup_(i=1)^oo A_i$ essendo notazione per compattare il concetto di unione infinita.


Ti ringrazio molto, mi ero avvitato su ste cacchiate.

[pantagruele]

Correggo un typo di cui mi accorgo solo ora... in realtà volevo dire:

Ok, $bigcup_(i) A_i, i in NN$ è finita (non è infinita giusto?), avevo mischiato due cose col copia incolla.

Perché il dubbio sorgeva sul fatto che, quando fisso una i di "termine", mi pare di avere sempre in $i$ "numero" finito, stando $i in NN$

Era questo il dubbio che cercavo di esporre nel secondo messaggio: da una parte mi sembra che possa essere notazionalmente inteso come unione infinita esseno $NN$ infinito numerabile, d'altro caso io posso leggerla così: $i in NN$ e stando i nei naturali esso non sarà mai $i=oo$ (non esistendo come numero propriamente detto), quindi è insensato pensarla come unione infinita in tal caso ed essendo $i$ un qualsiasi naturale sarà una unione finita.