pistacios ha scritto:Mi pare fin qui di aver capito che $∀x,(P(x)⇒Q(x))$ non equivale, dopo aver quantificato x, a $P⇒Q$
Non è questo che ho detto. Ho detto che data la proposizione
(*) $∀x,(P(x)⇒Q(x))$
tu non la puoi rendere come implicazione unica. Questo significa che non esistono (in generale) due proposizioni $A$ e $B$ tali che (*) è equivalente a $A => B$.
Ma è ovvio che, per dimostrare (*), fissi un $x$ qualsiasi e dimostri $P(x) => Q(x)$, e quest'ultima è un'implicazione normale.
A me sembra che tu non abbia ben chiaro cosa significhi "per ogni $x$". Facciamo un esempio semplice così ci capiamo. Quando si scrive $AA x$ ("per ogni $x$") questo significa che la proposizione che segue vale per ogni scelta di $x$ in un dato insieme (che a volte viene sottinteso).
Ora supponiamo che $x$ vari nell'insieme ${x_1,x_2}$.
Allora dire $AA x (P(x) => Q(x))$ equivale a dire la seguente cosa:
(**) $(P(x_1) => Q(x_1)) and (P(x_2) => Q(x_2))$
Lo vedi che (**) non è un'implicazione? Cos'è invece? E' un AND di due implicazioni. Ok? Un AND di due implicazioni non si può rendere come una unica implicazione $A => B$. Cioè non esistono proposizioni $A$ e $B$ tali che (**) è equivalente a $A => B$. E' questo che voglio dire quando dico che $AA x (P(x) => Q(x))$ non si può rendere come implicazione $A => B$ (scrivo $A => B$ invece di $P => Q$ perché mi sembra che tu colleghi in qualche modo $P(x)$ a $P$, ma sono cose diverse che, finché non decidi cosa significano, non significano niente).
Toriamo un po' sul filosofico. Tu (mi sembra) sei convinto che le scritture $P(x)$ e $P$ siano in qualche modo collegate, ma la cosa interessante è che non le vedi collegate da decisioni tue, ma collegate da qualche entità notazionale esterna che ti obbliga a dare un certo significato a $P$ che dipende da $P(x)$. La realtà, invece, è che
decidi tu cosa significa $P$. Lo decidi tu. Se decidi che $P$ significa $P(x)$, va bene, significa $P(x)$. Se decidi che $P$ significa $AA x P(x)$ va bene, significa quello, ma capisci che sono decisioni tue? E' difficile dialogare se quando vedi $P$ gli associ un significato o un altro a seconda di cosa ti sembra più sensato in quel momento, in logica si dà un significato ai simboli e si segue quel significato fino alla fine.
Detto ciò io so che $∀x(P(x)⇒Q(x))$ implica $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))$ (dimostrato), quindi posso dire che $∀x(P(x)⇒Q(x))$ => $P=>Q$
Lo vedi? Anche qui scrivi $P$ e $Q$, ma cosa intendi con $P$ e $Q$? Se intendi che $P$ è uguale a $AA x P(x)$ e $Q$ è uguale a $AA x Q(x)$ allora sì, quello che hai scritto è vero. Ma capisci che non posso continuare a tirare a indovinare? Devi dirmi tu cosa intendi con i simboli che scrivi.
Io quindi mi ritrovo questo: (2) ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) [**] che mi suggerisci avere tavola logica [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) che invece a me sembra essere equivalente a quella di:
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b) che non è [**] (per quanto scritto proprio qui sopra).
E siamo tornati al punto in cui sposti i quantificatori, li metti a caso di qua e di là, non lo puoi fare. E non imparerai ad usarli in un giorno. Devi seguire un corso di logica, parlare con qualcuno, è impossibile spiegarsi solo scrivendo.
La scrittura
(1) ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
si dimostra fissando $a,b$ qualsiasi e dimostrando
(2) [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
In particolare, la (1) NON è un'implicazione logica, è un AND di un sacco di implicazioni logiche (vedi l'esempio sopra con $x_1,x_2$). Ci siamo? Invece la (2) è un'implicazione logica. Ok?
In ogni caso, l'altra cosa che scrivi:
(3) [ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b)
non c'entra niente con (1), è proprio un altro universo. Hai messo i quantificatori dappertutto. A me sembra che, nella tua testa, aggiungere un quantificatore (o più di uno) non sia una cosa così grave, che non cambi molto la situazione. Invece cambia proprio tutto.
Per esempio dire "∀a,b, aRb" significa dire che due elementi qualsiasi sono in relazione. Quindi dire "∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa" significa dire che se tutti gli elementi sono due a due in relazione (tutti, a due a due, tutti in relazione! Presi due elementi qualsiasi, sono in relazione) allora lo sono anche nell'altro verso (tutti! A due a due). Non c'entra niente col dire "∀a,b, (aRb => bRa)", che invece vuol dire che se due elementi qualsiasi sono in relazione in un verso allora lo sono anche nell'altro. Capisci la differenza? Sono due universi distinti, non c'entrano niente uno con l'altro.
Pensa, rileggi tutto dall'inizio, fai un corso di logica.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
, non voglio aggiungere altro perché la domanda è solo questa.
