Dubbio sui quantificatori

[gandolfo_m]

Volevo solo dire di non prendere per oro colato quel metodo, che mi sembra solo un aiuto pratico per districarsi con gli epsilon etc

Sìsì, forse sono stato poco chiaro ma intendevo proprio quello!

Grazie di nuovo.


(sposto da sopra per comodità per chi avesse voglia e modo di rispondere)
[...]
Detto ciò, mi fucilate se vi chiedo altre due cosette? E' solo che ragionando su queste proposizioni mi sono venute due curiosità. Ho provato in logica ma non mi hanno considerato di striscio . Vi assicuro che non è un ot ma più uno spin-off, poi nel prosieguo se continueremo la conversazione lo capirete , ma ha a che fare con la definizione di limite e i quantificatori usati.

Inizio con la prima poi nei prossimi post metto la seconda in post successivi, per non allungare troppo il brodo.

Mi è sorto un dubbio ragionando su una dimostrazione e credo di avere una lacuna molto basic su questo fatto:

se io scrivo

$forall a, ∃ab:[...]$ posso scrivere $forall ab,[...]$ direttamente? dove con [...] ometto il resto non interessandomi molto, poiché vorrei un caso generale di utilizzo.

In un certo senso mi chiedo: $forall a, ∃ab: [...] <=> forall ab, [...]$?



avrei poi una domanda bonus: $forall a, ∃ab:[...]$ potrei scriverla in modo espanso come: $forall a, ∃b : ab,[...]$? Sarebbe sensato?

Spero possiate aiutarmi e vi ringrazio.

[gabriella127]

Detto ciò, mi fucilate se vi chiedo altre due cosette?

se io scrivo

$forall a, ∃ab:[...]$ posso scrivere $forall ab,[...]$ direttamente? dove con [...] ometto il resto non interessandomi molto, poiché vorrei un caso generale di utilizzo.

In un certo senso mi chiedo: $forall a, ∃ab: [...] <=> forall ab, [...]$?

Non ti fuciliamo .

Hai postato la domanda in Algebra, logica etc. e non hanno risposto? Non l'ho trovata però.

Puoi fare un esempio di
$forall a, ∃ab:[...]$ posso scrivere $forall ab,[...]$ direttamente?

Ad esempio vorresti dire:

$forall a, ∃ab$ tale che [$ab$ è verde] è equivalente a $forall ab,$ [$ab$ verde]?

Per $ab$ che intendi? Il prodotto due numeri $a$ e $b$, quindi $a$ e $b$ sono numeri?

Io non sono esperta di logica, ma visto che nella sezione di logica non ti si filano , al momento ti devi accontentare della serie B (io) .

Ti chiedevo di fare un esempio per chiarire un po' la domanda, perché in primo luogo vedo che $forall a, ∃ab:[...]$ è una proposizione, cioè una frase a cui si può associare un valore di verità (vero o falso): è vero che per ogni $a$ esiste un $ab$ tale che bla bla? Sì, no, non so. Invece $forall ab,[...]$ non è una proposizione.

[edit] Scusa, non avevo visto bene, pensavo a un attributo di $ab$, intendevi forse $forall ab,$ [$ab$ è verde]?

[gandolfo_m]

E' rimasta un po' di giorni in logica, l'ho tolta proprio prima quando l'ho copiata di qua per non fare crossposting (o come si chiama ). Per intenderci, per non fare doppioni.

Comunque essendo un somaro in logica mi ero incastrato su quel pensiero, vedo di chiarire.

Tutto era sorto (come si intuisce) dalla definizione di limite dato che c'era il $∀epsilon, ∃delta [...]$ facilmente si intuisce perché mi fosse venuto il dubbio su quella "formulazione" della proposizione. Fatta questa introduzione, poi, il dubbio si era sviluppato in modo a sé stante.

Ordiniamo i dubbi:

1) grazie alla tua risposta ho capito che $∀a,∃ab:[...]⇔∀ab,[...]$ non ha senso. quindi ok. In un certo senso la mia idea era che vedevo simile dire: $∀a,∃ab$ tale che $[ab=c]$ con $∀ab, [ab=c]$.

2) la seconda cosa che mi chiedevo sull'utilizzo dei quantificatori era questo: $∀a,∃b : ab=d$ è equivalente (<=>) a scrivere $∀a,∃ab=d$? (questa mi pare corretta no?)

3) Dai due precedenti mi sorgeva poi questa domanda. ma se io avessi che: [$∀a,∃c : ab=c$ e che $∀c,∃a : ab=c$] allora posso concludere che $forall c <=> forall ab$ (quest'ultima biimplicazione nella mia mente è un pò come dire ab=c, che mi sembra vero)

credo di dover sistemare un po' di cose e mi sembrava un buon momento per farlo (e capisco nella sezione logica mi abbiano odiato per le scemenze dette )


PS

[edit] Scusa, non avevo visto bene, pensavo a un attributo di $ab$, intendevi forse $forall ab,$ [$ab$ è verde]?

Sì intendevo una cosa del genere.

[Martino]

Ciao gandolfo, l'argomento che hai aperto nella sezione di Logica non avresti dovuto eliminarlo, a mio parere. A te forse sembra che nessuno abbia voglia di rispondere, la realtà però è che è difficile rispondere perché le tue domande non hanno molto senso. Voglio dire che gli utenti hanno letto il tuo messaggio ma non lo hanno capito. Per questo non hai ricevuto risposte. In altre parole l'assenza di risposte è in qualche modo una risposta. Comunque provo a rispondere qui.

se io scrivo

$forall a, ∃ab:[...]$ posso scrivere $forall ab,[...]$ direttamente? dove con [...] ometto il resto non interessandomi molto, poiché vorrei un caso generale di utilizzo.

Come diceva Gabriella, suppongo che tu intenda dire che $a$ e $b$ sono numeri (reali? interi? non si capisce) e che per $ab$ tu intenda il loro prodotto. Scrivi "per ogni $a$, esiste $ab$", io non scriverei così assolutamente, è molto strano. Siccome $a$ già appare nel primo quantificatore, non ha senso che riappaia nel secondo. Cioè io scriverei "per ogni $a$, esiste $b$ tale che ..." e nel prosieguo se ti serve $ab$ lo usi, se non ti serve non lo usi. Cioè siccome $a$ è dato, è inutile (e anzi molto confuso) scrivere "esiste $ab$". Sarebbe un po' come se io dicessi "esiste $3x$ tale che $x$ è pari". Come vedi il $3$ non ha nessuna rilevanza e anzi confonde solo le idee. Sarebbe molto meglio scrivere "esiste $x$ tale che $x$ è pari".

In un certo senso mi chiedo: $forall a, ∃ab: [...] <=> forall ab, [...]$?

No, sono cose diverse. Da una parte (1) $forall a, ∃ab$ è la stessa cosa di dire (2) $forall a, ∃b$ (solo che (1) è molto strano e va evitato). D'altra parte (3) "$forall ab$" è proprio un'altra cosa, ed è formalmente sbagliato perché se dici "per ogni $ab$" non si capisce perché tu abbia introdotto $a$, $b$ e perché non usi invece un'altra lettera $c$ e poi per esempio scrivi "per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$" eccetera. Cioè scrivere "per ogni $ab$" è proprio lontanissimo da quello che chiamerei un senso logico. Quando si introducono variabili queste vanno introdotte usando una sola lettera.

avrei poi una domanda bonus: $forall a, ∃ab:[...]$ potrei scriverla in modo espanso come: $forall a, ∃b : ab,[...]$? Sarebbe sensato?

Non si capisce, cosa intendi con $forall a, ∃b : ab,[...]$ ? Cioè non si capisce proprio. Io leggo "per ogni $a$ esiste $b$ tale che $ab$" e poi la frase finisce. Se per esempio fosse "per ogni $a$ esiste $b$ tale che $ab=1$" allora sì questo ha senso, ed è molto meglio di "per ogni $a$ esiste $ab$ tale che $ab=1$", che invece è stranissima e andrebbe evitata.

[Martino]

vedevo simile dire: $∀a,∃ab$ tale che $[ab=c]$ con $∀ab, [ab=c]$.

Sono due frasi diverse e hanno significati diversi. Per esempio se nell'ambito dei numeri razionali diversi da zero dico "per ogni $a$ esiste $b$ tale che $ab=1$" questo è vero perché basta scegliere $b=1//a$. Invece se dico "per ogni $ab$, $ab=1$" questo è falso perché starebbe dicendo in qualche modo che "ogni prodotto tra due numeri è uguale a $1$" che è ovviamente falso (per esempio $2*3 = 6$ non è uguale a $1$). Comunque ripeto che scrivere "per ogni $ab$" ha logicamente pochissimo senso.

2) la seconda cosa che mi chiedevo sull'utilizzo dei quantificatori era questo: $∀a,∃b : ab=d$ è equivalente (<=>) a scrivere $∀a,∃ab=d$? (questa mi pare corretta no?)

Sì in un certo senso sono equivalenti, attribuendo un significato alla seconda e cercando di capire cosa vuoi dire, ma ripeto che scrivere "esiste $ab$" è stranissimo, fa solo confusione. La prima formulazione è quella corretta.

3) Dai due precedenti mi sorgeva poi questa domanda. ma se io avessi che: [$∀a,∃c : ab=c$ e che $∀c,∃a : ab=c$] allora posso concludere che $forall c <=> forall ab$ (quest'ultima biimplicazione nella mia mente è un pò come dire ab=c, che mi sembra vero)

Qui non ti seguo più, no non puoi concludere quello che hai scritto, e come ripeto se provi a scrivere tutto evitando le scritture "per ogni $ab$" e "esiste $ab$" vedrai che diventerà tutto più chiaro. Sono scritture pericolose perché ti portano a sbagliare.

[gabriella127]

Riprendo questa osservazione di Martino

e come ripeto se provi a scrivere tutto evitando le scritture "per ogni $ab$" e "esiste $ab$" vedrai che diventerà tutto più chiaro. Sono scritture pericolose perché ti portano a sbagliare.

Consiglio da asino in logica (sempre io , cioè tanti anni fa un po' l'ho studiata ma molti anni fa): l'uso dei quantificatori non è una cosa banale, c'è una parte della logica, la logica dei predicati che se ne occupa, e quindi eviterei, come consiglia Martino, di dannarsi troppo con quantificatori e simboli logici, si fanno errori.
Ci sono regole sull'uso dei quantificatori, anche per stabilire l'equivalenza di due proposizioni.

Se vuoi provare un brivido metafisico, giusto per spaventarti un po', metto qui sotto un breve brano da dispense di logica, dove trovi alcune equivalenze, ad esempio sostituzione di quantificatore esistenziale con universale e simili.

Non è che devi leggerle o impararle, è giusto un assaggio per vedere che sono cose un po' complicate, e che se ci si impiccia non è un caso.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[… ]nella logica degli enunciati, ci saranno poi formule vere indipendentemente
dall’interpretazione specifica, ma soltanto a causa della loro struttura sintattica e delle
regole generali che daremo per interpretarle: ad esempio, dire che esiste almeno un x per
cui è verificata la proprietà P equivale a dire che non per ogni x per la proprietà P risulta
non verificata. In simboli:

∃x P ↔ ¬(∀x ¬P)

Ciò vuol dire che il quantificatore esistenziale ∃ può essere definito a partire dal
quantificatore ∀ e dall’operatore di negazione ¬; osserviamo che, analogamente, il
quantificatore universale ∀ potrebbe essere definito a partire dal quantificatore ∃ e
dall’operatore di negazione ¬: dire che per ogni x è verificata la proprietà P equivale infatti
a dire che non esiste alcun x per cui la proprietà P risulta non verificata, in simboli

∀x P ↔ ¬(∃x ¬P)
Ad esempio, al posto degli enunciati

Esiste (almeno) un quadrilatero equilatero
Ogni italiano è europeo

possiamo scrivere

Non ogni quadrilatero è non equilatero
Non esiste alcun italiano che non sia europeo

Ciò consente di precisare alcune importanti osservazioni riguardanti la negazione di una
frase quantificata, che riassumiamo così (ricordiamo che l’enunciato ¬(¬A) equivale ad
A):
• la negazione di ∃x P è ¬(¬(∀x ¬P)) , ovvero è ∀x ¬P
• la negazione di ∀x P è ¬(¬(∃x ¬P)) , ovvero è ∃x ¬P


http://wwwusers.di.uniroma1.it/~lpara/L ... pense4.pdf

[axpgn]

Ciao gandolfo, l'argomento che hai aperto nella sezione di Logica non avresti dovuto eliminarlo, a mio parere. A te forse sembra che nessuno abbia voglia di rispondere, la realtà però è che è difficile rispondere perché le tue domande non hanno molto senso. Voglio dire che gli utenti hanno letto il tuo messaggio ma non lo hanno capito. Per questo non hai ricevuto risposte.

...

No, sono cose diverse. Da una parte (1) $forall a, ∃ab$ è la stessa cosa di dire (2) $forall a, ∃b$ (solo che (1) è molto strano e va evitato). D'altra parte (3) "$forall ab$" è proprio un'altra cosa, ed è formalmente sbagliato perché se dici "per ogni $ab$" non si capisce perché tu abbia introdotto $a$, $b$ e perché non usi invece un'altra lettera $c$ e poi per esempio scrivi "per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$" eccetera. Cioè scrivere "per ogni $ab$" è proprio lontanissimo da quello che chiamerei un senso logico. Quando si introducono variabili queste vanno introdotte usando una sola lettera.

Ho visto il messaggio dell'OP poco dopo che l'aveva postato e d'impulso avrei risposto esattamente così ma mi sembrava troppo ovvio quindi ho pensato che intendesse qualcosa di più complicato di così e ho lasciato perdere

[gandolfo_m]

Ciao @Martino, grazie mille per la risposta.

Ciao gandolfo, l'argomento che hai aperto nella sezione di Logica non avresti dovuto eliminarlo, a mio parere. A te forse sembra che nessuno abbia voglia di rispondere, la realtà però è che è difficile rispondere perché le tue domande non hanno molto senso. Voglio dire che gli utenti hanno letto il tuo messaggio ma non lo hanno capito. Per questo non hai ricevuto risposte. In altre parole l'assenza di risposte è in qualche modo una risposta. Comunque provo a rispondere qui.

No, certo. Mi era chiaro che non fosse una "non voglia" di rispondere ma che probabilmente non era tanto chiara la mia domanda. Tuttavia non avendo avuto interazione non mi sembrava nemmeno utile lasciare una domanda vuota di là e avendola scritta di qua volevo evitare crossposting che so che è vietato: per quello l'ho tolta. Non era una cattiveria volevo solo seguire le regole, tanto avevo capito che non avrei ricevuto risposta e non sapevo nemmeno come fare a stimolarne altre. Insomma, per lasciare una discussione del tutto vuota mi sembrava più utile spostarla e toglierla .

Detto ciò, ti ringrazio perché hai chiarito tutti i miei dubbi e ho capito tutti i tuoi appunti sul caso.
mi piacerebbe, sempre se avessi voglia, solo chiarire un'ultima "faccenduncola" che non ho chiarissimo in mente:

Vediamo 3 seguenti casi:

1- $∀ab, ab=1$ (questo mi hai detto che non è correttissimo e sconsigliabile da utilizzare, ma dato che l'hai utilizzato nel secondo tuo post volevo capire meglio e prendiamolo per valido)

2- per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$, $c=1$ (domanda: qui per qualche a,b sembra dire per ogni a e per ogni b e quindi mi chiedo vale la seguente: 3-)

3- $foralla,forallb, ab=1$

vogliono dire tutti la stessa cosa, giusto? (a me sembra di si e spero di non sbagliare)



@gabriella: grazie per i tuoi sempre interessanti link e spunti. E' qualcosa che mi incuriosisce molto la logica ma non ho mai avuto un insegnamento a riguardo e sono molto molto carente (leggasi asino appunto)

[gugo82]

Vediamo 3 seguenti casi:

1- $∀ab, ab=1$ (questo mi hai detto che non è correttissimo e sconsigliabile da utilizzare, ma dato che l'hai utilizzato nel secondo tuo post volevo capire meglio e prendiamolo per valido)

2- per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$, $c=1$ (domanda: qui per qualche a,b sembra dire per ogni a e per ogni b e quindi mi chiedo vale la seguente: 3-)

3- $foralla,forallb, ab=1$

vogliono dire tutti la stessa cosa, giusto? (a me sembra di si e spero di non sbagliare)

Sarebbe interessante capire perché sì, ossia perché, secondo te, quelle robe lì vogliono dire la stessa cosa.

[gandolfo_m]

La 1) e la 3) equivalgono perché dire "1) per ogni ab, ab=1" come detto da Martino (con il caveat che non è correttissimo) vuol dire che per ogni moltiplicazione di a e b scelti a caso darebbe il valore 1. D'altra parte la 3) vuol dire proprio la stessa cosa di quanto appena affermato: scelgo a e b qualsiasi e moltiplicati ab danno 1.

Martino, inoltre, ha detto che la 1) si potrebbe riscrivere in modo migliore come 2): quindi 1) e 2) equivalgono.

Ergo, per transitività, (se 1 equivale a 3 e 1 equivale a 2) direi che 1) 2) e 3) sono la stessa cosa