Esercizio: polinomi, ideali, radicale

[RobyBrokk]

Buonasera a tutti, mi vorrei confrontare con qualcuno per la risoluzione del seguente esercizio e per capire se il mio approccio è corretto.
Dati i seguenti polinomi f e ideali I, determinare se f ∈√I.
In caso di risposta affermativa, determinare anche la più piccola potenza positiva m tale che $f^m ∈ I$.

(a) $ f = x + y$ $ I = ( x^3 , y^3, x*y*(x+y))$
(b) $ f = x^2 + 3*x*z $ $ I=(x+z, x^2*y, x−z^2)$

(a) penso che la potenza più piccola sia m = 3
Ho per prima cosa svolto il cubo del binomio ottenendo:
$ (x + y)^3 = x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3 $
facendo qualche semplice passaggio posso scrivere:
$ (x + y)^3 = x^3 + 3*x*y*(x+y) + y^3 $
e in questo modo ho riscritto il polinomio f come una combinazione lineare dei polinomi che generano
l'ideale I. Quindi $ f^3 $ appartiene all'ideale e quindi f appartiene al radicale di I.
(b) per questo caso invece non so bene come muovermi invece...

Ringrazio anticipatamente chiunque mi possa fornire un aiuto per affrontare questo esercizio.

[Stickelberger]

Suppongo che i polinomi abbiano coefficienti in qualche dominio $A$ (tipo $RR$, $CC$ o $ZZ$)
e che $I$ sia un ideale di $A[x,y,z]$.

Nella parte (b) la questione e’ se $x^2+3xz$ e’ nilpotente o meno nell’anello quoziente
$R= A[x,y,z]//(x+z,x^2y,z-x^2)$. L’omomorfismo indotto da $z\mapsto -x$ ci
da’ un isomorfismo $R\cong A[x,y]//(x^2y,x^2 + x)$. Gli ideali $(x)$ e $(x+1,y)$
di $A[x,y]$ sono coprimi e il loro prodotto e’ $(xy,x^2 + x)=(x^2y,x^2 + x)$.
Per il teorema cinese del resto abbiamo quindi
un isomorfismo
$$R\cong A[x,y]/(x) \times A[x,y]/(x+1,y)\cong A[y]\times A.$$
Esplicitamente, l’isomorfismo e’ data da $f(x,y,z) \mapsto (f(0,y,0),f(-1,0,1))$.
In particolare, l’immagine di $x^2+3xz$ e’ uguale a $(0,-2)$ in $A[y]\times A$.
E quindi, $x^2+3xz$ non e’ nilpotente. Almeno se $char(A)!=2$.

[RobyBrokk]

Suppongo che i polinomi abbiano coefficienti in qualche dominio $A$ (tipo $RR$, $CC$ o $ZZ$)
e che $I$ sia un ideale di $A[x,y,z]$.

Nella parte (b) la questione e’ se $x^2+3xz$ e’ nilpotente o meno nell’anello quoziente
$R= A[x,y,z]//(x+z,x^2y,z-x^2)$. L’omomorfismo indotto da $z\mapsto -x$ ci
da’ un isomorfismo $R\cong A[x,y]//(x^2y,x^2 + x)$. Gli ideali $(x)$ e $(x+1,y)$
di $A[x,y]$ sono coprimi e il loro prodotto e’ $(xy,x^2 + x)=(x^2y,x^2 + x)$.
Per il teorema cinese del resto abbiamo quindi
un isomorfismo
$$R\cong A[x,y]/(x) \times A[x,y]/(x+1,y)\cong A[y]\times A.$$
Esplicitamente, l’isomorfismo e’ data da $f(x,y,z) \mapsto (f(0,y,0),f(-1,0,1))$.
In particolare, l’immagine di $x^2+3xz$ e’ uguale a $(0,-2)$ in $A[y]\times A$.
E quindi, $x^2+3xz$ non e’ nilpotente. Almeno se $char(A)!=2$.

Grazie mille per avermi risposto.
Purtroppo però non riesco a capire la connessione tra l'appartenenza del polinomio al radicale e il fatto che sia nilpotente nell'anello quoziente... Ho ricontrollato il mio materiale ma davvero non riesco a trovare un legame...
so che un ideale è radicale se e solo se $A/I$ non possiede nilpotenti diversi da zero.
Ma non credo che mi possa essere utile

[Stickelberger]

E' equivalente: $x\in A$ sta in $\sqrt{I}$ se e solo se la classe di $x$ in $A//I$ e' nilpotente.
Segue direttamente dalle definizioni.