Legame tra quadruple pitagoriche , numeri primi e fattorizzazione

[P_1_6]

Legame tra quadruple pitagoriche , numeri primi e fattorizzazione
vi riporto parte del contenuto di
https://www.academia.edu/115482663/Pyth ... torizazion


Date le quaterne pitagoriche di questo tipo

$a^2+b^2+c^2=d^2$

$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$

$a=24*m*n+6*m+6*n+1$

$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$

$c=2*(3*m+n+1)$

$m,n,a,b,c,d$ in $Z$


Questo tipo di quadruple pitagoriche hanno la caratteristica:

per un primo $p$ nella forma $p=4*v+1$ esistono solo due quadruple pitagoriche

$(3*(3*p-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$

mentre per un primo $p$ nella forma $p=4*w+3$ esistono solo due quadruple pitagoriche

$(3*(3*(-p)-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$

ed è facile individuare quali sono le quadruple

in quanto

$p=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel primo caso quindi le due quaterne saranno $(m=0 ; n=v)$ ed $(m=v ; n=0)$

e

$-p=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel secondo caso quindi le due quaterne saranno $(m=0 ; n=-1-w)$ ed $(m=-1-w ; n=0)$

Esempio per $p=5$

$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=3*(3*p-3)/6+1$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$p=5$
,
$n=0$

si avrà $7^2+56^2+8^2=57^2$


$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=3*(3*p-3)/6+1$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$p=5$
,
$m=0$

si avrà $7^2+(-4)^2+4^2=9^2$

Queste sono le uniche due quadruple ma come vediamo che non ce ne sono altre?

Avete qualche idea?


Analogamente se consideriamo p fattorizzabile e lo chiamiamo N

per $N$ nella forma $N=4*v+1$ ci saranno tante quadruple pitagoriche di questo tipo quanti sono i fattori

$(3*(3*N-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$

mentre per $N$ nella forma $N=4*w+3$ ci saranno tante quadruple pitagoriche di questo tipo quanti sono i fattori

$(3*(3*(-N)-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$



$N=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel primo caso ci saranno due soluzioni banali $(m=0 ; n=v)$ e $(m=v ; n=0)$ ed altre

e

$-N=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel secondo caso ci saranno due soluzioni banali $(m=0 ; n=-1-w)$ e $(m=-1-w ; n=0)$ ed altre


Esempio $N=365$

$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=(3*(3*N-3)/6+1)$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$N=365$
,
$n=1$

quindi avremo $547^2+11984^2+112^2=11997^2$


$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=(3*(3*N-3)/6+1)$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$N=365$
,
$n=18$

quindi avremo $547^2+(-1276)^2+44^2=1389^2$


in più ci sono le due soluzioni banali $n=0$ ed $m=0$

Come facciamo a trovare almeno una soluzione non banale?

Avete qualche idea?

[P_1_6]

l'ho generalizzata tutto ciò che ho detto riguardo quelle quadruple pitagoriche di sopra è vero
anche per queste al variare di $h$

$a = 6*(2*h + 1)*m + 6*(4*(2*h + 1)*m + 2*h + 1)*n + 3*h + 1$

$b = 36*(4*h^2 + 4*h + 1)*m^2 + 9*h^2 + 18*(4*h^2 + 4*h + 1)*m - 4*n^2 + 9*h - 2*n + 2$

$c = 6*(2*h + 1)*m + 3*h + 2*n + 2$

$d = 36*(4*h^2 + 4*h + 1)*m^2 + 9*h^2 + 18*(4*h^2 + 4*h + 1)*m + 4*n^2 + 9*h + 2*n + 3$


$a^2+b^2+c^2=d^2$

dove

$a=3*(3*(2*h+1)*N-3)/6+1$ se $N=4*v+1$

oppure

$a=3*(3*(2*h+1)*(-N)-3)/6+1$ se $N=4*w+3$

[P_1_6]

Se può essere dia iuto

Per questo caso

Legame tra quadruple pitagoriche , numeri primi e fattorizzazione
vi riporto parte del contenuto di
https://www.academia.edu/115482663/Pyth ... torizazion


Date le quaterne pitagoriche di questo tipo

$a^2+b^2+c^2=d^2$

$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$

$a=24*m*n+6*m+6*n+1$

$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$

$c=2*(3*m+n+1)$

$m,n,a,b,c,d$ in $Z$


Questo tipo di quadruple pitagoriche hanno la caratteristica:

per un primo $p$ nella forma $p=4*v+1$ esistono solo due quadruple pitagoriche

$(3*(3*p-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$

mentre per un primo $p$ nella forma $p=4*w+3$ esistono solo due quadruple pitagoriche

$(3*(3*(-p)-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$

ed è facile individuare quali sono le quadruple

in quanto

$p=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel primo caso quindi le due quaterne saranno $(m=0 ; n=v)$ ed $(m=v ; n=0)$

e

$-p=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel secondo caso quindi le due quaterne saranno $(m=0 ; n=-1-w)$ ed $(m=-1-w ; n=0)$

Esempio per $p=5$

$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=3*(3*p-3)/6+1$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$p=5$
,
$n=0$

si avrà $7^2+56^2+8^2=57^2$


$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=3*(3*p-3)/6+1$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$p=5$
,
$m=0$

si avrà $7^2+(-4)^2+4^2=9^2$

Queste sono le uniche due quadruple ma come vediamo che non ce ne sono altre?

Avete qualche idea?


Analogamente se consideriamo p fattorizzabile e lo chiamiamo N

per $N$ nella forma $N=4*v+1$ ci saranno tante quadruple pitagoriche di questo tipo quanti sono i fattori

$(3*(3*N-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$

mentre per $N$ nella forma $N=4*w+3$ ci saranno tante quadruple pitagoriche di questo tipo quanti sono i fattori

$(3*(3*(-N)-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$



$N=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel primo caso ci saranno due soluzioni banali $(m=0 ; n=v)$ e $(m=v ; n=0)$ ed altre

e

$-N=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel secondo caso ci saranno due soluzioni banali $(m=0 ; n=-1-w)$ e $(m=-1-w ; n=0)$ ed altre


Esempio $N=365$

$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=(3*(3*N-3)/6+1)$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$N=365$
,
$n=1$

quindi avremo $547^2+11984^2+112^2=11997^2$


$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=(3*(3*N-3)/6+1)$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$N=365$
,
$n=18$

quindi avremo $547^2+(-1276)^2+44^2=1389^2$


in più ci sono le due soluzioni banali $n=0$ ed $m=0$

Come facciamo a trovare almeno una soluzione non banale?

Avete qualche idea?

Sembrerebbe vera anche questa

$b^2-c^2=(d-1)^2-(a+1)^2$

(P.s. Ma nessuno risponde perchè sto scrivendo stupidaggini?)