implicazione tra equazioni insiemistiche

[Cannone Speciale]

Ciao a tutti, stavo svolgendo un esercizio e mi sono trovato a dimostrare l'implicazione $ A uu B = A uu C rArr B nn C sup B nn A^c $ (dove $A^c$ indica il complementare di A). Sono riuscito a dimostrarla con dei disegni ma vorrei riuscire a dimostrarla algebricamente, solo che non so come fare. Esiste un'algebra degli insiemi che permette di passare dalla prima equazione alla seconda tramite regole prefissate come per le equazioni algebriche usuali? Mi scuso se magari questa domanda è stata già fatta in passato ma è difficile cercare argomenti simili nel forum, essendo la domanda molto specifica.

[Quinzio]

Si, sostanzialmente devi tradurre quell'espressione insiemistica in un'espressione booleana, e poi la verifichi caso per caso (un po' tedioso) oppure la dai in pasto a un calcolatore booleano.

In pratica sostituisci all'insieme $K$, l'affermazione logica $x \in K$, per cui ad es. $A \cup B$ diventa $\exists x: (x \in A) \or (x \in B)$.
Cioe' l'affermazione e' vera se esiste $x$ che e' presente in $A$ o in $B$.
Da ora in poi, per brevita' non scrivo piu' $\exists x: (x \in A) \or (x \in B)$ ma solo $A \or B$. E' la stessa cosa.
Le sostituzioni degli operatori e dei connettivi sono queste
$A \cup B$ .... $A \or B$
$A \nn B$ .... $A \and B$
$A = B$ .... $\not (A " xor " B)$
$A \rArr B$ .... $not A \or B$
e anche
$A sub B $....$A \rArr B$

Se non hai famliarita' con le espressioni booleane vai qui https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra
E' tutto abbastanza elementare.


Quindi in base a queste regoline la tua affermazione
$ A uu B = A uu C rArr B nn C sup B nn A^c $
diventa:
$not(not((A or B) " xor " (A or C))) \or (not(not A \and B) \or (B and C))$

Adesso hai due strade: la verifichi manualmente oppure
vai qui https://www.emathhelp.net/en/calculator ... C%29%29&v=
L'affermazione logica e' gia' impostata (da me).
Nella tabella di verita' in basso vedi che il risultato e' sempre vero.
Quindi l'affermazione e' vera, nel senso di "sempre vera".
Se tu vedessi anche solo un caso falso vuol dire che non e' (sempre) vera.

[Cannone Speciale]

Grazie! questo sarebbe il calcolo proposizionale giusto? Ne avevo sentito parlare nel libro di Douglas Hofstadter. Ma non c'è modo quindi di passare da una espressione all'altra? tipo:
$ A uu B = C uu B $
$ (A uu B) \\ B =(CuuB)\\B $
$ A = C $
che è sbagliato però.