chiusura nella topologia relativa

[Cannone Speciale]

Nel libro di John Kelley "General Topology" a pagina 50 parla di topologia relativa, cioè se $ (X,\mathcal(T)) $ è uno spazio topologico e $Y$ è un sottoinsieme di $X$ si costruisce la topologia relativa a $Y$ come la famiglia di tutte le intersezioni degli aperti di $\mathcal(T) $ con $Y$, cioè $U$ appartiene alla topologia $ \mathcal(U) $ se e solo se $U=V nn Y$ per qualche $\mathcal(T)$-aperto $V$.

Poco dopo dice che la $\mathcal(U)$-chiusura di un sottoinsieme di $Y$ è la sua chiusura in $Y$. Io ho interpretato questa affermazione così: la chiusura di $U$ nella topologia $\mathcal(U) $ è uguale alla chiusura di $V$ intersecato con $Y$ dove $V$ è tale che $V nn Y = U$;
in formule $ bar(U)_\mathcal(U) = bar(V)_\mathcal(T) nn Y $

Di ciò Kelley non fornisce una dimostrazione così ho provato io a scriverla ma non riesco, anzi mi sembra sbagliata. Sono riuscito a dimostrare che l'insieme dei punti di accumulazione $V' nn Y sup U'$ ma non riesco a dimostrare il contrario. Forse ho sbagliato a interpretare l'affermazione?

[hydro]

Beh questa sembra più una definizione che un claim che vada dimostrato. Ad ogni modo è vero che se $A\subseteq Y$ allora $\bar{A}_Y=\bar{A}_X\cap Y$. Per dimostrarlo, intanto nota che i chiusi nella topologia relativa di $Y$ sono le intersezioni dei chiusi di $X$ con $Y$. Infatti $B\subseteq Y$ è chiuso nella topologia relativa se e solo se $Y\setminus B$ è aperto, il che vale se e solo se esiste $U\subseteq X$ aperto tale che $U\cap Y=Y\setminus B$, il che a sua volta è equivalente a chiedere, prendendo i complementi in $Y$, che $U^c\cap Y=B$, dove $U^c$ è il complementare di $U$ in $X$, che è un chiuso.

Adesso considera $A\subseteq Y$; siccome $\bar{A}_X$ è chiuso in $X$, per quello che abbiamo detto sopra dev'essere $\bar{A}_Y\subseteq \bar{A}_X\cap Y$. D'altra parte se $V\subseteq X$ è un chiuso tale che $A\subseteq V\cap Y$, allora ovviamente $A\subseteq V$, e quindi $A\subseteq \bar{A}_X$, perchè $\bar{A}_X$ è il più piccolo chiuso di $X$ contenente $A$. Se ne conclude che $\bar{A}_Y\supseteq \bar{A}_X\cap Y$, e quindi la tesi.

[otta96]

Penso che intenda $bar(U)_\mathcal(U) = bar(U)_\mathcal(T)nnY$.
Quello che dici te è sbagliato, un controesempio può essere $X=RR$ con la topologia euclidea, $Y=[0,1]uu[2,3]$, $U=[0,1]$ e $V=[0,2)$. Ho visto che nel frattempo c'è stata un'altra risposta ma non l'ho letta, al massimo mi sarò ripetuto, pace.

[Cannone Speciale]

Penso che intenda $ bar(U)_\mathcal(U) = bar(U)_\mathcal(T)nnY $.
Quello che dici te è sbagliato, un controesempio può essere $ X=RR $ con la topologia euclidea, $ Y=[0,1]uu[2,3] $, $ U=[0,1] $ e $ V=[0,2) $. Ho visto che nel frattempo c'è stata un'altra risposta ma non l'ho letta, al massimo mi sarò ripetuto, pace.

Se stai dicendo che l'affermazione $V' nn Y sup U'$ è sbagliata, con il tuo esempio a me sembra giusta: $U'=U, V'=[0,2], V' nn Y = [0,1] uu {2}$ e quindi $V' nn Y sup U'$. Non credo che c'entri molto in questo caso ma Kelley usa $sup$ al posto di $supe$

[Cannone Speciale]

Beh questa sembra più una definizione che un claim che vada dimostrato. Ad ogni modo è vero che se $ A\subseteq Y $ allora $ \bar{A}_Y=\bar{A}_X\cap Y $. Per dimostrarlo, intanto nota che i chiusi nella topologia relativa di $ Y $ sono le intersezioni dei chiusi di $ X $ con $ Y $. Infatti $ B\subseteq Y $ è chiuso nella topologia relativa se e solo se $ Y\setminus B $ è aperto, il che vale se e solo se esiste $ U\subseteq X $ aperto tale che $ U\cap Y=Y\setminus B $, il che a sua volta è equivalente a chiedere, prendendo i complementi in $ Y $, che $ U^c\cap Y=B $, dove $ U^c $ è il complementare di $ U $ in $ X $, che è un chiuso.

Adesso considera $ A\subseteq Y $; siccome $ \bar{A}_X $ è chiuso in $ X $, per quello che abbiamo detto sopra dev'essere $ \bar{A}_Y\subseteq \bar{A}_X\cap Y $. D'altra parte se $ V\subseteq X $ è un chiuso tale che $ A\subseteq V\cap Y $, allora ovviamente $ A\subseteq V $, e quindi $ A\subseteq \bar{A}_X $, perchè $ \bar{A}_X $ è il più piccolo chiuso di $ X $ contenente $ A $. Se ne conclude che $ \bar{A}_Y\supseteq \bar{A}_X\cap Y $, e quindi la tesi.

Ho capito a livello intuitivo la prima parte ma non riesco a capire quando dici prendendo i complementi in $Y$, ho fatto fatica a leggere anche la seconda parte, ma forse è perchè che mi sta andando in pappa il cervello
Però non ho capito l'ultima frase, perchè " Se ne conclude che $ \bar{A}_Y\supseteq \bar{A}_X\cap Y $"?

[hydro]

Scusami perchè ho sbagliato a scrivere $A\subseteq \bar{A}_X$, intendevo scrivere che $\bar{A}_X\subseteq V$. Ne segue che $\bar{A}_X\cap Y$ è contenuto in tutti i chiusi di $Y$ che contengono $A$, e quindi in particolare è contenuto in $\bar{A}_Y$.

[Cannone Speciale]

Beh questa sembra più una definizione che un claim che vada dimostrato. Ad ogni modo è vero che se $ A\subseteq Y $ allora $ \bar{A}_Y=\bar{A}_X\cap Y $. Per dimostrarlo, intanto nota che i chiusi nella topologia relativa di $ Y $ sono le intersezioni dei chiusi di $ X $ con $ Y $. Infatti $ B\subseteq Y $ è chiuso nella topologia relativa se e solo se $ Y\setminus B $ è aperto, il che vale se e solo se esiste $ U\subseteq X $ aperto tale che $ U\cap Y=Y\setminus B $, il che a sua volta è equivalente a chiedere, prendendo i complementi in $ Y $, che $ U^c\cap Y=B $, dove $ U^c $ è il complementare di $ U $ in $ X $, che è un chiuso.

Adesso considera $ A\subseteq Y $; siccome $ \bar{A}_X $ è chiuso in $ X $, per quello che abbiamo detto sopra dev'essere $ \bar{A}_Y\subseteq \bar{A}_X\cap Y $. D'altra parte se $ V\subseteq X $ è un chiuso tale che $ A\subseteq V\cap Y $, allora ovviamente $ A\subseteq V $, e quindi $ A\subseteq \bar{A}_X $, perchè $ \bar{A}_X $ è il più piccolo chiuso di $ X $ contenente $ A $. Se ne conclude che $ \bar{A}_Y\supseteq \bar{A}_X\cap Y $, e quindi la tesi.

Scusami di nuovo ma adesso non mi è chiara neanche questa implicazione "Adesso considera $ A\subseteq Y $; siccome $ \bar{A}_X $ è chiuso in $ X $, per quello che abbiamo detto sopra dev'essere $ \bar{A}_Y\subseteq \bar{A}_X\cap Y $". Ho capito che un chiuso in Y dev'essere un chiuso in X intersecato con Y, ma non vedo l'implicazione che dici tu.

[hydro]

$\bar{A}_X\cap Y$ è un chiuso di $Y$ che contiene $A$, e pertanto deve contenere la chiusura di $A$ in $Y$.

[otta96]

Se stai dicendo che l'affermazione $V' nn Y sup U'$ è sbagliata, con il tuo esempio a me sembra giusta: $U'=U, V'=[0,2], V' nn Y = [0,1] uu {2}$ e quindi $V' nn Y sup U'$. Non credo che c'entri molto in questo caso ma Kelley usa $sup$ al posto di $supe$

Sto dicendo che l'altro verso non è vero.

[Cannone Speciale]

Sto dicendo che l'altro verso non è vero.

ok infatti mi pareva strano.