Domanda su campo di spezzamento

[francicko]

Sia $F$ un campo $E$ una sua estensione, sia $E=F[alpha_1,alpha_2,......alpha_(n-1)]$ il più piccolo campo che contiene $(alpha_1,alpha_2,...alpha_n)$ elementi algebrici su $F$, allora $E$ risulterà essere campo di spezzamento del polinomio $p(x)=(x-alpha_1)(x-alpha_2).....(x-alpha_n)$ che risulterà irriducibile e quindi polinomio minimo di ogni radice. È sbagliato?

[hydro]

Sì è sbagliato, come puoi facilmente vedere quando gli $\alpha_i$ vivono in $F$.

[francicko]

Sia $F$ un campo , ed $alpha_1,alpha_2,....,alpha_n$ elementi algebrici su $F$ ma non appartenenti ad $F$, sia $n-1$ il piu piccolo numero di elementi algebrici dell'insieme ${alpha_1,alpha_2,....,alpha_n}$ da aggiungere ad $F$ affinché $E=F[alpha_(i_1),alpha_(i_2),...,alpha_(i_(n-1))]$ con ${alpha_(i_2),alpha_(i_2),...,alpha_(i_(n-1))}$ sottoinsieme, sia il piu piccolo campo che contiene gli elementi algebrici su indicati, allora $E$ sarà campo di spezzamento del polinomio $p(x)=(x-alpha_1)(x-alpha_2).....(x-alpha_n)$, anche così è sbagliato?

[hydro]

Questo e’ vero per definizione di campo di spezzamento.

[francicko]

Se $K$ è un campo ed $alpha_1,$ ed $alpha_2$ sono elementi algebrici, se sono radici dello stesso polinomio minimo vengono detti coniugati?

[francicko]

Sia $F$ un campo ed $p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile , siano $alpha_1, alpha_2, ......,alpha_n$ le radici di tale polinomio, consideriamo le seguenti estensioni $F[alpha_i]$ ed $F[alpha_j]$, con $alpha_i$ ed $alpha_j$ due radici qualunque del polinomio, indichiamo con $ p_i^(n-1)(x)$ il polinomio riducibile in $F[x_i]$ tale che $p^n(x)=(x-x_i)p_i^(n-1)(x)$ ed
Con $p_j^(n-1)(x)$ il polinomio riducibile in $F[x_j]$ tale che $p^n(x)=(x-x_j)p_j^(n-1)(x)$ avrò che
$p_i^(n-1)(x)=q_1^k(x)q_2^t(x)$ con $k+t=n-1$
ed $p_j^(n-1)(x)=s_1^k(x)s_2^t(x)$ con $k+t=n-1$ ?