esercizio algebra lineare

[asia1999]

Buongiorno.

Mi trovo in difficoltà con un esercizio di un tema d'esame universitario.

Scrivo di seguito la consegna.
Sia (.,.)il prodotto scalare euclideo in R3 e sia (.,.)A definito da
(x,y)A=(x,yA) dove A è una matrice 3x3 , verificare se (.,.) sia p.s.e ed in caso positivo computare angolo tra v ed u rispetto a (.,.) dove u=(1,1,2) e v=(1,-1,1).

La matrice A --> r1(1,0,0) / r2(0,2,1) / r3( 0,1,2)

non capisco cosa richiede l'esercizio nello specifico, soprattutto la parte dove dice che A è definito (x,y)A=(x,yA)


Potreste aiutarmi?

Ringrazio molto.

[Cannelloni]

E' davvero dura leggere un testo di matematica scritto in italiano. Se hai tempo dai un'occhiata alla guida su come scrivere in matematichese

Passiamo al problema: non esiste un unico prodotto scalare, tu conosci probabilmente quello euclideo, che denotiamo con $\langle, \rangle$, ma ce ne sono infiniti altri. Un modo per ottenere uno di questi prodotti scalari è prendere una matrice $A$, come nel tuo caso, e definire, per ogni coppia $x,y\in\mathbb{R}^3$ il prodotto scalare
\[
\langle x,y\rangle_A:=\langle x, y\cdot A\rangle
\]
Qui devi sapere cosa è il prodotto vettore/matrice, se non lo sai vai a vedere cos'è e dovrebbe esserti chiara la definizione di questo prodotto scalare.

Appena capita la definizione puoi verificare se è un prodotto scalare calcolando se è simmetrico e bilineare. Infine c'è la questione dell'angolo. Sai che $\langle u, v\rangle_A=||u||_A ||v||_A\cdot\cos(\phi)$ dove $\phi$ è proprio l'angolo compreso. Occhio che $||u||_A:=\langle u,u\rangle_A$